【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第8章 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅱ)].docVIP

第讲 一、填空题 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是________． 解析　建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直． 答案　异面垂直 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________． 解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－， 所以sin〈，〉＝. 答案　 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________． 解析　建立坐标系如图， 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为. 答案　 4．已知直二面角α－l－β，点Aα，ACl，C为垂足，点Bβ，BDl，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________. 解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为________． 解析　如图建立直角坐标系D－xyz， 设DA＝1，由已知条件 G，B，E，F，＝， ＝， cos〈，〉＝＝0， 则. 答案　90°6．正四棱锥S －ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________． 解析　如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， 则cos〈，n〉＝＝＝. 〈，n〉＝60°， 直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°. 答案　30°. 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为________． 解析　以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图： 设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)， 则MC＝， MP＝ . 由MP＝MC得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分． 答案　 8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．　 解析　以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos APC＝可求得 当λ＝时，APC最大． 故VP－ABC＝××1×1×＝. 答案　 ．已知P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果BPM＝BPN＝45°，MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________． 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图， 作MEAB于E，NFAB于F， EPM＝FPN＝45°， PE＝a，PF＝b， ·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ⊥，二面角α－AB－β的大小为90°. 答案　90° ．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________． 解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F ＝，＝ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 面AEF与面ABC所成的二面角为θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　二、解答题 . 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90°，BAC＝3