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第七章 柱体扭转 圆轴扭转——平面假设 非圆截面柱体——横截面翘曲 柱体扭转精确求解是十分困难的 目录 §7.1 扭转问题的位移解法 §7.2 扭转问题的应力解法 §7.4 椭圆截面杆件的扭转 §7.3 薄膜比拟法 §7.5 开口薄壁杆件的扭转 §7.6 闭口薄壁杆件的扭转 §7.1 扭转问题的位移解法 柱体扭转 自由扭转——翘曲不受限制 约束扭转——翘曲受到限制 弹性力学讨论 自由扭转 § 7.1 位移解法 2 关于圆截面直杆的扭转问题，材料力学的解答，即；①剪应力与点到圆心的距离r成正比且与之垂直，②变形后横截面仍保持为平面，是正确的。 这一结论是库仑于1784年提出的。后来法国人纳维叶（Navier）将这一结果应用于非圆截面直杆的扭转，但这样作的结果是错误的，这可由受扭矩形截面杆的剪应力与边界条件不符合得到证明。 § 7.1 位移解法 2 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为a ，则柱体单位长的相对扭转角为 而横截面的扭转角a = j z § 7.1 位移解法 3 根据观察，对柱体内部位移作以下的假设： 1. 刚截面假设: 柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕 z 轴转动，如图所示。 当扭转角 a 很小时，设OP=r，则P点的位移为 2． 横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角j成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=jF (x，y)。 § 7.1 位移解法 4 1855年，圣维男（Saint-venant）采用半逆解法，从分析位移入手，提出了等截面直杆扭转的解答。 ??? F(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。 柱体自由扭转计算模型 扭转假设： 1. 刚截面假设 ——扭转与圆轴扭转变形相同 2. 翘曲假设 ——各个截面的翘曲相同 § 7.1 位移解法 5 根据上面的分析可见，对非圆截面柱体扭转问题的位移分量u,v,w仅是坐标x,y的二维函数。 根据几何方程，应变分量为 根据本构方程，应力分量为 1.平衡微分方程 不计体力时， § 7.1 位移解法 7 柱体扭转边界条件 对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。 由于 ，只有 和 不等于零。 下面分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论； 2. 面力边界 1)端面边界:L=m=0 ,n=1 2)横截面侧边界:L、m ，n=0 § 7.1 位移解法 5 对于位移法求解，需要将平衡微分方程用位移分量表示 位移解法基本方程 ??? 将位移表达式代入上式，则 上式为Laplace 方程， 它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程， 即Lamé方程时，则扭转翘曲函数F (x，y)为调和函数。 调和方程 § 7.1 位移解法 6 对于平衡微分方程，在不计体力的条件下， 前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为 § 7.1 位移解法 7 侧面边界条件: 因此，在横截面周界S上，有 （在S上） 端面边界条件: 考察右端面，l=m=0，而n=1。 面力的合力为外力矩T。 § 7.1 位移解法 8 ??? 对于上述边界条件的前两式， ??? 同理??????????????????????? ??? 所以，在满足侧边界条件下， 端部边界条件的前两式是恒满足的。 § 7.1 位移解法 9 对于端部边界条件的第三式，有 令 则： T = jGKD 其中KD表达了横截面的几何特征(抗扭系数)，GKD 称为柱体的抗扭刚度。 § 7.1 位移解法 9 总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件 相对扭转角j由公式T =j GKD确定。 § 7.1 位移解法 9 求解方程 （在S上） 扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对比较复杂，因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。 根据扭转问题的平衡微分方程，可得 因此，必然有一个函数ψ (x,y)，使得 §7.2 扭转问题的应力解法 将上述扭转应力分量 代入变形协调方程， 所以，函数y(x,y) 满足 则前四个方程恒满足， 而后两个方程要求 ψ(x, y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函