单自由度系统自由振动详解.pptVIP

《振动力学》 弹簧质量系统 动能： 势能： （重力势能） （弹性势能） 不可能恒为 0 单自由度系统自由振动 0 m x 静平衡位置 弹簧原长位置 零势能点 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置。 动能： 势能： 设新坐标 单自由度系统自由振动－能量法 0 零势能点 m x 静平衡位置 弹簧原长位置 如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。 单自由度系统自由振动－能量法 考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大 最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大 对于转动： x 是广义的 0 m x 静平衡位置 静平衡位置 最大位移位置 xmax 0 m x 单自由度系统自由振动－能量法 例 题 4 图示结构中，不计质量的杆OA在水平位置处于平衡，若k、m、a、l 等均为已知。 求：系统微振动的固有频率 ? mg F m k a l O A 1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动 解：设OA杆作自由振动时， 其摆角 ?的变化规律为 系统的最大动能为 系统的最大势能为 由机械能守恒定律有 例 题 5 由能量法解 例题4 ? m k a l O A 如图所示是一个倒置的摆 摆球质量 m 刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度 求: 倒摆作微幅振动时的固有频率。 l m a k/2 k/2 单自由度系统自由振动－能量法 例 题 6 解法1： 广义坐标 动能 势能 零势能位置1 零势能位置1 l m a k/2 k/2 单自由度系统自由振动－能量法 微幅振动： 解法2： 零势能位置2 动能 势能 零势能位置2 l m a k/2 k/2 单自由度系统自由振动－能量法 单自由度系统自由振动－能量法 小结： 能量法的概念: 利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即： 求系统的固有频率和振动方程，固有频率即 教学内容 无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 单自由度系统自由振动 实际振动系统通常由多个构件组成，因而其质量是分散的，这给振动分析带来困难；因此，对于相关的那些质量，可以采用等效质量代替实际的分散质量，来简化力学模型。但在进行质量折算求解等效质量时，应保持系统的振动动能不变。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 同样，实际振动系统也可由多个弹簧元件，可以采用等效弹簧代替实际的组合弹簧，但应保持系统的势能守恒。 例如，一个杠杆-弹簧系统如图(a)，均质杆长度为L，质量为m，弹簧刚度为k，为了便于振动分析．可把该杠杆-弹簧系统化成集中质量-弹簧系统(b)。因弹簧刚度保持不变，只需用一个等效质量m’来代替杠杆的分散质量m。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 系统变换前的动能： 系统变换后的动能： 系统动能保持不变： 可得： 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 等效质量和等效刚度 方法1： 选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式： 当 、 分别取最大值时： 则可得出： Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 ? m k a l O A 动能 势能 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 动能 势能 零势能位置1 l m a k/2 k/2 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 方法2：定义法 等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量 。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 例：串联系统 总变形： 在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 弹簧2变形： 根据定义： 或 P m k1 k2 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 例：并联系统 两弹簧变形量相等： 受力不等： 在质量块上施加力 P 由力平衡： 根据定义： 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。 P m k1 k2 m k1 k2 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 杠杆系统 杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置： 求