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《数学模型》作业解答 第三章1（2009年3月17日） 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少． 解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本． 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： 　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　 　　　　由 ，　得 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变． 对于允许缺货模型，每天平均费用为： 　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到驻点： 　　　　 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少． 2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况. 解：由题意可得贮存量的图形如下： 贮存费为 又 , 贮存费变为 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 . , 得 易得函数取得最小值，即最优周期为： . 相当于不考虑生产的情况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（2009年3月24日） 3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型. 解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ， 分母而加的. 总费用函数 最优解为 第三章3（2009年3月27日） 5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为 又 .于是总利润为 = = , 得到最优价格为: 在销售期T内的总销量为 于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得： 即为的最优值. 6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？ 解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费＝0.18（元）.又现在的订货周期T＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型： 得：  令 ， 解得： 由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小. 又＝300＋100k =353．33＋100k －＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33. 故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T=，能节约费用约53．33元. 第三章作业解答第 5 页 共 5 页 O