9.2直线和直线的位置关系.docVIP

§9.2 直线和直线的位置关系 预备知识 (平面中直线平行关系的传递性 (平面中两条直线的位置关系 重点 (异面直线的概念及其判定 (异面直线所成的角 难点 (异面直线的判定 (异面直线所成的角 学习要求 (了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性 (会求异面直线所成的角 点是立体几何中最基本的元素，由点构成的集合中，线当然又是比较简单的一种，其中直线又是线中最简单的．在这一节将要学习的，就是有关空间直线方面的知识． 1. 两条空间直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？你可以观察一下教室四周，把天花板、地面与墙的交线及墙面与墙面的交线视为直线的一段，你可以找到彼此平行的直线，也可以找到相交的直线，但还能发现有一些直线，例如天花板上南北走向的交线，与地面上东西走向的交线，它们既不平行，但也不相交．把教室简化成一个长方体ABCD-A(B(C(D(，把长方体的棱视为直线的一段，那么从图9-22上你可以发现更多这种位置关系的直线，例如BC与 AA(、AD与D(C(，还有对角线B(D(与AC等等． 这些直线对的公共特征是它们不可能同在一个平面 内． 这样，空间中的直线位置关系又多了一个：既不 相交、又不平行．我们把两条既不相交、又不平行的直线，称为异面直线，也可以说，把两条不可能同在一平面上的直线称为异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种： (1)平行直线——没有公共点 (2)相交直线——只有一个公共点 (3)异面直线——既不相交也不平行(不可能在同一个平面上) 在画异面直线时，要像图9-23那样，把两条直线 明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 “异面” 的特点． 课内练习1 1. 找出日常生活中异面直线的几个例子． 2. 画出图9-22中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来． 3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？ 4. 能否把没有公共点的两条直线称为平行线？ 2. 空间的平行直线 如何判定空间两条直线平行？在平面几何中有不少判定方法，到了空间情况，有些可以继续成立，有些则不再成立了．例如在平面上垂直于同一条直线的两条直线必定平行，在空间情况就未必．在 教室里就可以找到具体例子：天花板上东西走向、 地面上南北走向的墙角线，都垂直于墙面交线，但 它们并不平行，从图上来看，图9-24上长方体的棱 AB,AD、对角线AC所在的直线，都垂直于棱AA( 所在的直线，但它们却是不平行的(有交点A)．平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-24中，因为ABB(A(,BCC(B(都是矩形，AA(||BB(, CC(||BB(，所以CC(||AA(．此外从空间的特点出发，在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行线判定方法，是平面几何中所没有的． 例1 已知E,F,G,H分别是空间任意四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形(见图9-25)． 证明： 连结AC,BD．因为E,F分别是(ABC的AB,BC边上的中点，所以 ； 同理 ， 得 ， 即 ． 所以四边形EFGH是平行四边形 ▌ 课内练习2 1. 把一张长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什么？ 2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线， 使它们成为平行直线． 3. 如图，在长方体中，AE=A1E1, AF=A1F1，求证： EF E1F1． 3. 异面直线所成的角 9-24中的长方体看作教室，你会接受这么一种说法：墙边线AA(与墙角线BC是垂直的，但是这两条直线却是异面直线．你的认可来自于下面的做法：平移BC使与AD重合，而AD与AA(是垂直的．异面直线之间的夹角，正是这样来定义的． 如图9-26(1)，设l,m是两条异 面直线，在空间任取一点P，过P作 l(||l,m(||m，l(,m(在同一个平面上，把 l(,m(所成的(不大于90()角，称为异 面直线l,m所成的角(或l,m的夹角)， 采用平面情况的记法，记作l^m． 为了简便起见，点P常取在两异面直线中的一条上．例如取在直线l上，然后经过点P作直线m(||m(见图9-26(2))，那么m(, l所成的角就是异面直线l,m所成的角． 如果两条异面直线l,m所成的角是直角，那么我们 就说两条直线互相垂直，记作l(m．如果两条直线平行， 它们所成的角为0(角． 例2 图9-27表示一个正方体． (1)哪些棱所在直线与