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* * * * 垂直于弦的直径 上都中学 程妙玲 2008年10月 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 · O A B C D E 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 条件 CD为直径 CD⊥AB 垂径定理的几何语言叙述: CD为直径， AE=BE， AC=BC， ⌒ ⌒ AD=BD． ⌒ ⌒ ∴ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 结论　 AE=BE AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ ∵ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧． CD⊥AB 4．新知强化 　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B ●O ●O ●O 在下列哪个图中有AE=BE， A B C D （1） （2） （3） D C A B C A B E E E ┗ AC=BC，AD=BD. 找一找 ⌒ ⌒ √ ⌒ ⌒ D AE=BE吗？ · A B C D E · Ｏ Ｏ A B D C 条件 CD为直径 结论　 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ CD⊥AB CD⊥AB AE=BE 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （不是直径） 垂径定理的推论1: CD⊥AB吗？ (E) O A B C D E 条件 CD⊥AB AE=BE AC=BC CD过圆心 垂径定理的推论2: 结论　 ⌒ AD=BD 已知AB如图，你能平分这条弧？ ⌒ ⌒ E ⌒ ⌒ 第一步：连接AB 第二步：作AB的垂直平分线 F . CD过圆心吗? 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 　　上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 总结 例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 D C 10 8 8 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC= AB= ×16=8 由勾股定理得: 答:截面圆心O到水面的距离为6. 1 2 1 2 排水管中水最深是多少? 6 CD=OD－OC =10－6=4 变式一： 若已知排水管的半径OB=10， 截面圆心O到水面的距离OC=6， 求水面宽AB。 变式二： 若已知排水管的水面宽AB=16。 截面圆心O到水面的距离OC=6， 求排水管的半径OB。 D C 10 8 8 6 例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 若弦心距为d，半径为R，弦长为a,则这三者之间有怎样的关系？ d R a 2 d2+( )2=R2 2 a 解：如图，设半径为R， 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. D 37.4 7.2 赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？ AB=37.4, CD=7.2 R 18.7 R-7.2 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 . 练习： · A B O ∟ C 5cm 3 4 2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为　　　　. 13cm (1)题 (2)题 12 8 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. ∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB ∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90° ∟ ∟ 练习：