2第二节极限的概念(第一次).docVIP

郑州铁路职业技术学院教师教案 序号：2 授课班级 授课日期 出勤情况 课程名称 高等数学 教学类型 理论讲授 复习旧课要点 复习几个基本初等函数的图象 （5分钟) 新课内容 及要点 第二节 极限的概念（第一次） 一．时的极限 二．时的极限 授课目的 理解并掌握时的极限与时的极限 会利用图象用观察法求极限 重 点 与 难 点 重点：两种类型极限的定义. 难点：左、右极限的理解 课后作业 习题1-2 3、5（1，3，4） 第二节 极限的概念（第一次） 一．时的极限 1．瞬时速度 引例：旋停在地震灾区上空50m高处的直升飞机上丢下一包救灾物品，忽略空气阻力，记开始下落的时刻为．试考察在下落的第3秒末这一时刻物品的速度． 分析过程略，经分析可得到 （m/s）． 我们就定义这个极限值为第3秒末物品下落的速度，即这一时刻的瞬时速度． 2．时的极限 首先说明邻域的概念．设为正实数，称区间为点的邻域，点称为邻域中心，称为邻域半径；把称为点的去心邻域．设是一个定值，从的两侧以任何方式趋近于，但始终不等于，用“”表示，读作“趋向于”． 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义（在可以没有定义），如果当时，无限趋近于一个常数，那么就说是当趋向于时函数的极限，记作 或 （）． 说明：当极限存在时，极限是唯一的． 例1 考察函数当时的极限． 解 因为当时，，所以函数的图象就是函数（）的图象，如图1-4所示．从图中可以看出，当时有极限，且 ． 从常值函数和函数的图象可以看出： （为常数）； ． 当函数是基本初等函数时，由函数图象容易知道，若是定义区间内部的点（端点除外），则有 ， 即极限值等于函数值．例如，，，等等． 3．左、右极限 仅从的左侧，即小于的一侧无限趋近于，记作；仅从的右侧，即大于的一侧无限趋近于，记作． 定义2 设函数，如果当时，无限趋近于一个常数，那么就说是当趋向于时函数的左极限，记作 ， 或； 如果当时，无限趋近于一个常数，那么就说是当趋向于时函数的右极限，记作 ， 或． 由定义1和定义2就得到极限存在的一个充分必要条件： 的充要条件是． 例2 设函数考察是否存在． 解 作出的图象，如图1-7所示（图略）． 在左侧附近，所以 ； 在右侧附近，所以 ． 左、右极限都存在但不相等，由上面的充要条件可知，不存在． 练习： 1.求下列极限： ⑴ （2） （3） 2. 讨论函数在处的极限. 3．讨论函数在处的极限 45分 二．时的极限 无限增大，记作，读作“趋向于正无穷大”；无限减小，记作，读作“趋向于负无穷大”；无限增大，记作，读作“趋向于无穷大”． 1．时的极限 引例：设火箭所要达到的最大高度为，那么发射火箭所需要的初速度为 ，， 其中是重力加速度，是地球半径． 现在来考察当时，函数的变化趋势． （m /s）． 其中取，取为m．这个极限值就是第二宇宙速度． 定义3 设函数，如果当时，无限趋近于一个常数，那么就说是当趋向于正无穷大时函数的极限，记作 ， 或（）． 例如，（见图1-9），（见图1-10）． 一般地，如果是一个正有理数，那么有 ． 又如，观察指数函数的图象可以看出，当时，有． 类似地，如果当时，无限趋近于一个常数，那么就说是当趋向于负无穷大时函数的极限，记作 ， 或（）． 例如，（如图1-9所示）． 定义4 设函数，如果，且，那么就说常数是当趋向于无穷大时函数的极限，记作 ， 或 （）． 由此可知：的充要条件是且． 由和定义4，可知．容易知道，，为常数． 例3 考察是否存在． 解 由图象可以看出 ，． 和虽然都存在，但不相等，所以不存在． 课后小结与布置作业 45分 1 郑州铁路职业技术学院教师教案 第3页