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最优控制 例1：飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力 方向相反的推力f，赖以控制飞船实现 软着陆(落到月球表面上时速度为零)。 要求选择一最好发动机推力程序f(t)， 使燃料消耗最少。 满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止一 种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，易见，问题可 归结为求 例2：防天拦截问题 所谓防天拦截是指发射火箭拦击对方洲际导弹或其它航天武器。 设x(t)、v(t)分别表示拦截器L与目标M的相对位置和相对速度向量。a(t)是包括空气动力与地心引力所引起的加速度在内的相对加速度向量，它是x、v的函数，既然位置和速度向量是由运动微分方程所确定的时间函数，因此相对加速度也可以看成时间的函数。设m(t)是拦截器的质量，f(t)是其推力的大小。用u表示拦截器推力方向的单位向量。C是有效喷气速度，可视为常数。 要求控制拦截器从相对于目标的初始状态出发，于某末态 时刻tf与目标相遇（实现拦截），即 且应满足 这里， me是燃料耗尽后拦截火箭的质量。 一般说来，达到上述控制目标的f(t)、u(t)和tf并非唯一。为了实现快速拦截，并尽可能地节省燃料，可综合考虑 这两种要求，取性能指标为 上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为： 针对不同的具体问题，J一般可以取为不同的具体形式，如： ①最短时间问题 ②线性二次最优控制问题 ③线性伺服器问题 如果要求给定的系统状态x跟踪或者尽可能地接近目标轨 迹xd，则J可以取为 除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的， 以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出 整齐的解析解。 自适应控制 例如： 飞机控制 近地点和高空的空气密度不同，飞机控制特性随高度、 飞行速度的不同而有很大的变化 导弹控制 导弹的质量和重心随燃料的消耗迅速变化 过程控制 连续生产化工设备参数随着环境温度和输入输出流量而改变；锅炉机组过热蒸气温度的动态参数随着负荷变化而变化 电力拖动 造纸：卷纸筒惯性变化，为保持纸张力不变，马达的转矩需改变 船舶的航线控制 传递函数的动态参数随着船载、速度、吃水深度和环境（即波浪、风速、海潮等）的变化而变化 自适应系统的原理框图 与常规反馈控制系统比较，自适应控制系统有三个显著特点： 例：加热炉温度控制系统设计 1）常规控制器设计方法： 被控对象： 其物理意义为：单位时间炉温升高所用的热量等于单位时间 内流入炉子热量与流出炉子热量之差。其中： 加热炉传递函数： 如果对加热炉温度控制的设计目标是使理想的闭环传函为 选择PI（比例积分）控制器 宝山壁画 宝山壁画是引人注目的昂贵文物。此壁画发现于阿鲁科尔沁旗东沙布乡境内。1994年列为“全国十大考古新发现”之一。宝山壁画中最引人注目的是《杨贵妃教鹦鹉图》。该画高0.7米、宽2.3米，用于笔重彩绘制，最突出的表现了 晚唐风格。唐代擅长绘贵妇仕女的大师周昉绘制了《杨贵妃教鹦鹉图》，不仅享誉中原，而且还影响全国各地。发现于阿旗宝山古墓里的这幅画，就是契丹人聘请中原画家按照周氏风格绘制的， 技法深得周氏画风的真传。在唐人真迹稀如星风的今天，能够从中完整了解唐代人物画的杰出成就，堪称美术史研究的辛事。这幅壁画现今保存在阿鲁科尔沁旗博物馆，历经千年，恍如新绘，是该馆的镇馆之宝。 欢迎大家观看！ * 北京大学系统与控制研究中心 * 控制理论的其它分支： 最优控制与自适应控制 Optimal Control 最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。 我国的探月计划： 绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号”； 落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器； 回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。 最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。 实际应用背景 设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃料分别为M和F。 h g v 月球 要求控制飞船从初始状态 出发，于某一时刻tf实现软着陆，即 自某t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为 其中k为一常数。 为最大的数学问题。 控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即 于是，拦截