中国矿业大学周圣武概率论与数理统计2第二章 随机变量及其分布资料.ppt

概率论与数理统计 第二 章 随机变量及其分布 第一节 随机变量 二、常用的离散型随机变量及其分布 Ⅱ.二项分布 Ⅲ. 泊松分布 第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 例4 已知离散型随机变量 X 的分布函数为 例5 已知 X 表示弹着点与靶心的距离， 引例 一、连续型随机变量的定义 2. 概率密度的性质 例5 设随机变量X的概率密度函数为： 二、 几种常用的连续型随机变量 均匀分布的密度函数的验证 均匀分布的分布函数 均匀分布的概率背景 密度函数的验证 ⒊ 正态分布 正态分布的重要性 例1 例2 例2 例3 例4 例5 设 三、连续型随机变量的函数的分布 第二章 知识小结 3σ准则 时， 可以认为， Y 的取值几乎全部集中在 的区间内。 这在统计学上称为 准则” 当 由3? 准则知， 当 解 由图形可得 1 x F x 0 x f x 0 对于任意的 0 a b, 应用场合 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种“寿命” 分布的近似 解 2 已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 .电子元件的寿命X 年）服从λ＝3的指数分布 例2 1 求该电子元件寿命超过2年的概率。 年的概率为多少？ 由已知得 X 的概率密度为 由⑴、⑵结果得： 指数分布具有无记忆性，即 若 X ~Ｅ ? ,则 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 指数分布的“无记忆性” 事实上 命题 解 1 例3 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 故障的次数 , 求 相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行８小时的情况下，再正常运行 10 小时的概率. 即 2 由指数分布的“无记忆性” 解 由题意知 ，其中 现在 X 的概率密度为 例4 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间 单位:分钟 X 服从指数为 的指数分布。若等待时间超过10 分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。 以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布律及至少有一次没有等到服务的概率 因此 所以 Y 的分布律为 于是 例5 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元 二次方程 有实根的概率。 解 因为当 时，方程有实根，故所求 概率为 而X的概率密度为 从而 例：在大量重复试验中， 得到一组数据， 这组数据 虽然有波动， 但总是以某个常数为中心。偏离中心越 近的数据越多； 偏离中心越远的数据越少。 取值呈“中间大、两头小”的格局， 即取值具有对称性。 此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。 ⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布． ⑴大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。 ⑵正态分布有许多良好的性质. 正态分布在十九世纪前叶由高 首次露面。 德莫佛最早发现了二项分布概率的一个 近似公式， 这一公式被认为是正态分布的 斯加以推广和应用，所以通常称为高斯分布。 德莫佛 高斯 德国1993年10马克 高斯在他于1809年发表的“最小二乘法”的基础上建立的正态分布方程，是概率统计中一个非常重要的工具，广泛应用于数学、物理学等领域。 Ⅰ. 正态分布的定义 定义1 设连续型随机变量的概率密度为 其中 为常数，则称 X 服从参数为 的正态分布或高斯 Gauss 分布，记为 定义2 当 时，X 的概率密度为 则称 X 服从标准正态分布，记为 的图形如下图所示 以上钟形曲线叫做正态曲线，故满足以下特性。 x 0 Ⅱ. 正态分布概率密度的几何形态（性质） ⑴ 证 ？ 计算 （利用高数知识） 令 ，则 设 ，故 ，故 代入得 可以直接引用 ⑵ 曲线关于 对称， ，有（如下图） 这表明对于任意 ⑶ 当 时，f x 取得最大值 x离μ越远，f x 的值就越小。 ⑷ 曲线 在 处有拐点； 曲线 以 轴为渐近线， ⑸ 若σ 固定，而改变μ的值， 则 f x 的图形沿 x 轴平行移动， 但不改变其形状，因此 定。（如右图） 的图形的位置完全由参数μ所决 决定了图形中峰的陡峭程度， 正态分布由它的两个参数 μ和σ唯一确定，当μ和σ 不同时，是不同的正态分布。 称σ为形状参数。 Ⅲ. 正态分布的分布函数 设 ，X 的分布函数是 而 ，即 X 服从标准正态分布的分布 的分布函数为 x 0 x -x 当x ≥０时,可直接查表求 当x ０时 ,如右图 可得 227页 解 设随机变量 ，试求 ⑵. ⑶. ⑴. Ⅳ. 正态分布标准化 一般地，若 ，我们只要通过一个线性变 换就能将它化成标准正态分布。 定理1 若随机变量 ，则 证 要