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* 一、平面刚架力学模型 ▲ 杆件处于同一平面内，结点刚性连接。 ▲ 单元的线位移和转角在结点处都连续。 ▲ 每个杆件可看作梁单元。 ▲ 基本未知量 结构的结点位移： 平面刚架结构示意图 梁单元示意图 整体结构 有限个梁单元 平面刚架有限元分析 单元的内力： * 二、局部坐标系中的单元分析 平面刚架有限元分析 梁单元示意图 结点载荷向量： 结点位移向量： 刚度方程： 基本参数： 局部坐标系中的 单元刚度矩阵 * 梁单元示意图 刚度矩阵的系数 的物理意义 ： 第 s 个位移对第 r 个力的贡献。或 当第 s个位移分量等于1, 即 ， 其余分量为零时 需要施加的力 （r, s = 1,2,..,6） 平面刚架有限元分析 * 二、整体坐标系中的单元刚度矩阵 平面刚架有限元分析 矢量的坐标转换 同理： 杆端力的坐标转换： 坐标转换矩阵 ★ 只取决于 * 二、整体坐标系中的单元刚度矩阵 平面刚架有限元分析 矢量的坐标转换 杆端力的坐标转换： 杆端位移坐标转换： 反变换： 整体坐标 局部坐标 整体坐标 局部坐标 杆端力的坐标转换： 杆端位移坐标转换： 可证： 2. 整体坐标系中的刚度方程 其中： 为整体坐标系中的单元刚度矩阵， 整体坐标系中的单元的力和位移 * 二、整体坐标系中的单元刚度矩阵 平面刚架有限元分析 单元刚度矩阵的性质： (1) 对称性 (2) 奇异性 (3) 分块性质 或 位移互等定理 由 的对称性可知 也对称。 给定一组平衡的杆端力 ，不等位移确定杆端位移 。 方程 的解不唯一 物理意义？ * 平面刚架有限元分析 杆端力： 杆端 位移： 刚度方程： (3) 分块性质 或： * 平面刚架有限元分析 三、整体刚度矩阵的形成 整体结点载荷矢量： 其中： 整体结点位移矢量： 其中： 结构的刚度方程 分块形式： 问题： * 平面刚架有限元分析 刚度集成法： 考虑单元刚度对结构刚度的贡献。将单元刚度 矩阵扩充为于整体刚度矩阵同阶的矩阵。 三个杆件组成的平面刚架 表1 单元的局部码和整体码的对应关系 两种编码 的关系 (1) (2) (3) i 1 3 2 j 3 4 4 * 平面刚架有限元分析 三个杆件组成的平面刚架 * 平面刚架有限元分析 思考题： 1、如何推导 ？ （虚位移原理，转角位移法） 2、如何推导 ? （ 结点平衡法，能量法，虚位移原理） * 平面刚架有限元分析 ▲ 用插值函数推导局部坐标系中的单元刚度矩阵： Hermite 插值多项式 (1) 由上面方程求得系数 代入(1)后可得 * 平面刚架有限元分析 ▲ 用插值函数推导局部坐标系中的单元刚度矩阵： 虚位移原理： 令 由虚位移 的任意性，可得 * 平面刚架有限元分析 于是得到弯曲刚度矩阵 在叠加拉伸刚度矩阵 得到拉弯变形梁的刚度矩阵： 刚度系数： * 四、非结点载荷等效 虚功相等条件进行等效。 单元的等效结点载荷为： （1）均布载荷： 平面刚架有限元分析- 非结点载荷等效 固端力： (a) 均布载荷 虚功方程： * （2）横向集中载荷： 平面刚架有限元分析- 非结点载荷等效 (b) 横向集中载荷 虚功方程： 固端力： 也可以采用求解超静定问题的办法求得 各种非结点载荷作用下的固定端反力 * （3）集中力偶： 平面刚架有限元分析- 非结点载荷等效 虚功方程： 固端力： (c) 集中力偶 * （4）轴向集中载荷： 平面刚架有限元分析- 非结点载荷等效 (d) 纵向集中力 * 平面刚架有限元分析-支承条件引入 五、支承条件的引入 （1） 将[K]中第3s-2行和3s-2列的对角线元素改为1，其元素改为0； 将载荷列矢量{P}中的第3s-2个元素改为0. （2） 按上述方法对[K]的3s-1行和列进行修改，对{P}的第3s-1行修改 （3） 按上述方法对[K]的3s行和列进行修改，对{P}的第3s进行修改 * 平面刚架有限元分析 六、求位移 七、求杆端力 * 平面刚架有限元分析 六、算例 已知平面刚架 * 平面刚架有限元分析 * 平面刚架有限元分析 * 平面刚架有限元分析 * 平面刚架有限元分析 引入边界条件后的刚度方程： 解得位移： * 平面刚架有限元分析 单元的杆端力： 轴力图(kN) 剪力图(kN) 弯