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第一章函数 * 三﹑函数的几种特性 二﹑函数的概念及表示 一﹑常量与变量 第一节 函数的概念 一﹑常量与变量 在某一过程中，取值不变的量称为常量。常用a、b、c等 符号表示，如一个盒子的长、宽、高、体积、质量、等都是 常量。而在某一过程中可以取不同值的量称为变量。常用x、y、z表示。如物体运动的速度，人的生长高度都是变量。成本是生产者用于生产商品的费用，成本可以分为两类，固定成本和变动成本。在短期内，固定成本不变为常量，变动成本（包括能源消费、原材料费用、劳动者的工资等等）为变量。应该指出，常量和变量的概念是相对的，某些变量在相应的限制条件下可以看作常量，如某一天某一时刻的气温可以看作一个常量，而要考虑一天之内的气温，它就是一个变量。 二、函数的概念及表示 在同一自然现象或变化过程中，往往有多个变量在变化着，这些变量并不是孤立的在变化着，而是相互联系着并遵循一定的规律，我们知道，路程随着时间的变化而变化，气温随着时间的变化而变化，如何科学准确的表示他们之间的变化关系呢？ 我们考虑两个变量之间的简单情况。 例1 在自由落体运动中，物体下落的距离S随着时间T的变化 化而变化，下落距离S与时间T之间的依赖关系可以用下 式表示： 其中为重力加速度。 例2 圆的面积A和半径r的关系可表示为: 1. 函数的概念 定义1.1 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个x∈D，变量y按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称变量y是变量x的函数。记作 其中x为自变量，y为因变量，数集D成为函数的定义域， M={y|y=f(x),xD}成为函数的值域。 在函数的定义中，并没有要求自变量变化时，函数值一定要变，只要对于自变量x∈D,都要有确定的y∈M与之对应。因此，常量y=c也是符合函数定义的，因为当x∈ R时，所对应的y值都是确定的常数c，既常量y=c为函数（常数函数）。 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数。 我们知道， y 是x的函数可记为y=f(x)。但在同一个问题中，如需讨论几个不同的函数，为区别清楚起见，可用不同的函数 记号来表示。 如由: 是多值函数. 2.函数的记号及函数值 当自变量x取某一个值 ，函数f(x)的对应值称为函数当 的函数值，记为f( )或写成 例4 已知函数 解: 3．邻域、函数的定义域 中学已经学习过集合、闭区间和开区间等概念，邻域也是经常用到的一个概念。 例1 求下列函数的定义域 （1） （2） 解 ， 因此函数 因此函数 的定义域 4． 函数的表示法 函数常用的表示方法有三种：解析法、图形法、列表法。 （1）解析法： 如函数 解析法的优点是便于数学上的分析和计算。 （2）列表法 如平方表、对数表、三角函数值表等，都是将一系列的自 变量值及其相对应的函数值列成表来表示，列表法表示函数的 优点是：直观。可以直接由自变量的数值查到相应的函数值。 （3）图形法 股票的K线图，心电图，气温曲线等等都是采用的图形法. 通过图形可以较为清楚的看到因变量是如何依赖自变量的变化而变化。其优点是直观、通俗、容易比较。 三、函数的几种特性 奇偶性 设函数 : 偶函数，又不是奇函数，称 。 例1 讨论下列函数的奇偶性 解: (1) 所以 2.函数的单调性 例2 讨论函数 解 3.函数的有界性 若存在正数M，使得函数满足 4.函数的周期性 （通常说周期函数的周期是指最小正周期）. 如： 都为周期函数。 一 基本初等函数 二 复合函数 三 初等函数 四 分段函数 五 函数关系的建立 第二节 初等函数 一、基本初等函数 常数函数 2.幂函数 3.指数函数 4.对数函数 5.三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 6.反三角函数 二 复合函数 定义1.2 复合函数，其中 例1 三 初等函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数. 定义1.3 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和