第一章极限与连续(连续性)解析.pptVIP

二、函数的间断点 间断点分类 三、四则运算的连续性 * 复习： 两个重要极限： 一、函数的连续性 。 。 。 1 -1 -1 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 1.连续的定义 2、函数的增量 例1 解 由定义2知 例2 解 右连续但不左连续 , 3.单侧连续 定理 例 讨论函数 在点x=0和x=1 处的连续性. 解 在点x=0处,有 f(0)=1+0=1 由此可知 所以,f(x)在x=0处连续. 在点x=1处,有 因左、右极限不相等,故 不存在, f(x)在x=1处不连续. 由f(1－0)=f(0)=2可知,f(x)在x=1处左连续. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 1.跳跃间断点 例３ 解 2.可去间断点 例４ 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例４中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例５ 解 例６ 解 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 例2. 讨论函数 的连续性. f(x)在 内连续. 在分段点x=2处,有 解: f(x)在x=2处既左连续又右连续,故在x=2处连续. 所以f(x)在其定义域(－∞,+∞)内连续. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 判断下列间断点类型: 例７ 解 闭区间上连续函数的性质 【有界定理】 【最值定理】 【介值定理】 【根的存在定理】 【注】（1）上面四个定理中闭区间和连续缺一不可，缺少任一条件都可能使结论不成立。 （2）根的存在定理又叫做零点定理，证明方程根的存在性与分布非常有效。 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 * * *