在数学的海洋中飘荡 _ 笑对人生，傲立寰宇.pdfVIP

在数学的海洋中飘荡 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡 ，research进展不多 ，对于数学世界的阅历算 是有 了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生 ，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的 目的 ，是要想爬上巨人 的肩膀 ，希望站在更高的高度 ，能把我 自己研究的东西看得更深广一些。说起来 ，我在刚来这 个学校的时候 ，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程 。我的导师最初希望我去做的题 目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题 目在 当今Computer Vision中百花齐放的世界 中并没有任何特别的地方。事实上 ，使用各种Graphical Model把各 种东西联合在一起framework ，在近年的论文 中并不少见 。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具 ，但是 ，我认为它 不是panacea ，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研 。如果统计学习包治百病 ，那么 很多 “下游”的学科也就没有存在的必要 了。事实上 ，开始的时候 ，我也是和Vision中很多人 一样 ，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出 ，这样的做法只是重复一些标准的 流程 ，并没有很大的价值 。经过很长时间的反复 ，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相 信 ，一个图像是通过大量 “原子”的某种空间分布构成的 ，原子群的运动形成 了动态的可视过 程 。微观意义下的单个原子运动 ，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需 要我们去发掘 。 在深入探索这个题 目的过程 中，遇到了很多很多的问题 ，如何描述一个一般的运动过程 ，如何 建立一个稳定并且广泛适用的原子表达 ，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系 ，还有很 多。在这个过程 中，我发现 了两个事情 ： 我原有的数学基础 已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。 在数学中，有很多思想和工具 ，是非常适合解决这些问题的 ，只是没有被很多的应用科 学的研究者重视 。 于是 ，我决心开始深入数学这个浩瀚大海 ，希望在我再次走出来的时候 ，我已经有 了更强大的 武器去面对这些问题的挑战。 我的游历并没有结束 ，我的视野相 比于这个博大精深的世界的依 旧显得非常狭窄。在这里 ，我 只是说说 ，在我的眼中，数学如何一步步从初级 向高级发展 ，更高级别的数学对于具体应用究 竟有何好处。   集合论：现代数学的共同基础 现代数学有数不清的分支 ，但是 ，它们都有一个共同的基础——集合论—— 因为它 ，数学这个 庞大的家族有个共同的语言。集合论 中有一些最基本的概念 ：集合 (set) ，关系(relation) ，函 数(function) ，等价 (equivalence) ，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些 简单概念的理解 ，是进一步学些别的数学的基础 。我相信 ，理工科大学生对于这些都不会陌 生。 不过 ，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是 “选择公理”(Axiom of Choice)。这个公理的意思是 “任意的一群非空集合 ，一定可以从每个集合 中各拿出一个元 素。”——似乎是显然得不能再显然的命题 。不过 ，这个貌似平常的公理却能演绎出一些比较 奇怪的结论 ，比如 巴拿赫-塔斯基分球定理—— “一个球 ，能分成五个部分 ，对它们进行一系 列刚性变换 （平移旋转）后 ，能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结 论 ，导致数学界曾经在相 当长时间里对于是否接受它有着激烈争论 。现在 ，主流数学家对于它 应该是基本接受的 ，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里 面 ，下面的定理依赖于选择公理 ： 1. 拓扑学 ：Baire Category Theorem 2. 实分析 （测度理论） ：Lebesgue 不可测集的存在性 3. 泛函分析 四个主要定理 ：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem 在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和