江苏省2016届高三高考数学：保值(倍值)区间题型探究(PDF版).pdfVIP

保值(倍值)区间问题 基本概念 保值区间比较常见的一个定义是：对于区间[ab, ]，若函数f (x)同时满足下列两个条件：①函数 f (x) [ab, ] f (x) [ab, ] [ab, ] [ab, ] 在 上是单调函数；②函数 当定义域为 时，值域也为 ，则称区间 为函数 f (x)的 “保值区间”．           k 对于函数y f x ，若存在区间a,b ，当x a,b 时，f x 的值域为ka,kb ( ＞0），则称   k y f x 为 倍值函数，区间[ab, ]为函数f (x)的 “倍值区间”． 实际上，在具体的题目中，保值区间的概念会有不同的定义，在部分题目中，并不会提到 “保值 区间”这个概念，甚至都不会提出 “单调”这个条件。那么我们在做相应的题目的时候，就要按照实 际具体做好分析了。 解题思路 一般此类问题有三种情况：1、函数在定义域上单调增；2、函数在定义域上单调减；3函数只在部 分区间上单调，在整个定义域上不具有单调性。需要注意的是，如果能画出函数图像的简图，那对于 解决此类题目来说，帮助十分巨大，所以画图能力一定要比较强。 此类问题实际上是有 “不动点”、 “稳定点”的背景的，但不属于高考大纲内容要求，本文不涉 及此概念，有兴趣的可以自行查阅相关资料。 一、函数在定义域上单调增 既然函数在定义域上单调增，那么在区间 上必然是单调增的，而值域是 ，则得到 a,b a,b   f a a   f x x a,b  ，继而可以得到 在定义域内有两个不同的解 ，再利用函数零点问题的判断方法   f b b 去处理即可。 当然，如果考量几何意义，我们会发现，实际上就是  和 在定义域内有两个不同的交 y f x y x 点，这个时候再考虑求切线找临界的方法去处理就可以了。 二、函数在定义域上单调减 同上，既然在定义域内单调减，那么在区间 内必然是单调减的，而值域是 ，则可以得到 a,b a,b   f a b  ，需要注意的是，这种形式的就不能再构造函数了，或者说暂时还不能看出如何构造。对于   f b a 此类式子的处理方法，基本就是两个式子做减法约分就能得到等量关系了，如果还发现不了，再试试 加法。 此时考量几何意义，会发现  都在函数  上，即  上存在两个关于 对称 a,b, b,a y f x f x y x 的点。 三、函数在定义域上不具有单调性，在部分区间上具有单调性 a,b 此类题目一般分两种情况：1、可以通过题目所给的条件，不断的通过必要条件缩小 的范围， 继而能够判断出在 上的单调性，个别情形下，需要分类讨论；2、如果通过必要条件依然无法判断 a,b 出区间上的单调性，那就只有分类讨论处理了。 例题讲解 (a ax) 12 例1、函数y  （