《离散数学》几个典型的代数系统-1(群).ppt

第六章 几个典型的代数系统 6.1 半群与群 半群与独异点 半群定义与性质 交换半群与独异点 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群 半群的定义与实例 定义 设 V=S, o 是代数系统，o为二元运算，如果 ? 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群，+是普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是半群，其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）P(B),?为半群，其中?为集合的对称差运算. （4）Zn, ?为半群，其中 Zn={0,1, …, n?1}，?为模 n 加法. （5）AA, ?为半群，其中 ? 为函数的复合运算. （6）R*,?为半群，其中R*为非零实数集合，?运算定义 如下：?x, y∈R*, x ? y =y 元素的幂运算性质 由于半群中的运算?是结合的，可以定义运算的幂。设V=S, ?为半群，对任意 x∈S，规定： x1 = x xn+1 = xn?x,n∈Z+ 幂运算规则：xn ? xm = xn+m(xn)m= xnm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法 特殊的半群 定义 设V = S, ?是半群 (1) 若? 运算是可交换的，则称V 为交换半群 . (2) 若 e∈S 是关于 ? 运算的幺元，则称 V 是含幺半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = S, ?, e 独异点的幂 独异点的幂运算定义  x0 = e xn+1 = xn? x,n∈N 幂运算规则 xn ? xm = xn+m (xn)m= xnm m, n∈N 交换半群和独异点的实例 例1 （1）N,+,0,Z,+,0,Q,+,0,R,+,0都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是 独异点，其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加 法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）P(B),?,?为交换半群和独异点，其中?为集合的对 称差运算. （4）Zn, ?,0为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n?1}， ? 为模 n 加法. （5）AA, ?,IA为独异点，不是交换半群，其中 ? 为函数的复合运算. 半群与独异点的子代数 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点。 判断方法： 设 V=S,?为半群， T 是 S 的非空子集， T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭. 设V=S, ?, e为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且e?T 实例： Z+,+, N,+是Z,+的子半群，N,+是Z,+ 的子独异点， Z+,+不是Z,+的子独异点. 半群与独异点的积代数 定义 设 V1=S1,? ，V2=S2,? 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 · 运算如下： ?a,b,c,d∈S， a,b·c,d = a?c, b?d 称 S,·为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作 V1×V2. 若 V1 = S1,?, e1 和 V2 = S2,?, e2 是独 异点，则 V1×V2 = S1×S2, ·,e1,e2 也是独异 点, 称为独异点的 积独异点 (直积). 半群和独异点的同态 定义 (1) 设V1= S1, ?，V2= S2,?是半群，?： S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有 ? (x?y) = ?(x) ? ?(y) 则称 ? 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. (2) 设V1 = S1, ?,e1，V2 = S2,?,e2 是独异点， ?: S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有 ? (x?y) = ?(x) ? ?(y) 且 ? (e1) = e2, 则称 ? 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. 同态的实例 例2 设半群 V1 = S,·，独异点 V2= S,·,e. 其中 · 为矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵,   令 ? ：S?S, ,