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第三章 环与域（Rings and Fields） 概述：本章主要讨论两种基本代数系统——环与域．和上章一样，在这一章我们只讨论环与域的若干最基本的性质及一些基本理论，并且介绍几种特殊的环与域，使得我们一方面对于中学代数有更清楚、更深入的了解，另一方面为今后进一步的学习和研讨获得必要的基础. 环的定义 基本概念：环的定义及基本性质、单位元、零因子、整环、无零因子环、除环、域． 重点、难点: 环的定义、几种最常见的环定义??设G是一个交换群群的代数运算叫做加法加群，的代数运算?注１　加群G中的单位元称为零元，记为0;G中元素a的逆元称为a的负元（简称负a），记为－a. ?　　注２　加群G中的其他一些符号及运算定律的记法也随之发生改变（具体见教材P80-82）． 注3 设S加群的一个非空子集一个子群??????????? 二、环的定义 ＜一＞　基本概念 　　环就是一个带有两种代数运算并满足一些运算性质的非空集合．具体如下 ?　　定义2?? 设R是一个集合，假如R对于加法是一个加群；R对于乘法；一个环R＝{0，，，}。加法和乘法由以下两个表给R对于上述两种运算构成一个环?? ??证 R是一个加群????①. 封闭， 结合律， 零元， 负元， 交换律??? (2) R是一个乘法半群????①封闭，结合律或简记为．（２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为有理数域，记为（、）或简记为（、）． 例３　数域F上的n阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F上的n阶方阵环，记为． ?例??R＝{所有模的剩余类}????????????，???????． 可以证明R关于上述运算构成一个环，称之为模的剩余类，或． 初等性质　　（P81-84中的（１）－（１４）条，略） 值得一提的是：在一般的环中，未必等于，即二项式定理未必成立． 三、一些特殊的环 ＜一＞　交换环 ?定义???若环R，则称R是一个交换环、、、、都是交换环，而则不是交换环． 注１　在交换环中，二项式定理成立，即，n为正整数． ＜二＞　含幺环 定义?若R的一个元R通常也称为含幺环． 例如，、、、都是含幺环，单位元就是数1，、也是含幺环，单位元分别是和n阶单位矩阵．这也说明含幺环中的单位元1并非就是普通整数1． 注１　并非所有的环都是含幺环．如下例． ＝{所有偶数}R对于普通加法和乘法来说作成一个环但R没有单位元也是一个含幺环．故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环． 含幺环中的单位元总是惟一存在的． 在含幺环R中，规定　． 定义??一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元，假如． 还有左逆、右逆的概念（见第二章）． ＜三＞　无零因子环 　 　　问：在一般的环中，两个非零元素之积是否仍然非零，即能否推出或？??这个问题的回答是否定的，如环?是个合数． 定义???若是在一个环里???　　　　　　　　　　，但是这个环的一个左零因子，是一个右零因子右零因子零因子右零因子右． 注３ 乘法可逆元一定不是左、右定义右、、、都是无零因子环，而(n是合数)、不是无零因子环． 注１ 可以证明：R是无零因子环R中非零元素之积仍非零． 定??环R是无零因子环R的乘法满足左、右???? 证．假定?； 故R中的乘法满足左、右反过来，假定?，则? 即R无零因子??环R的乘法满足左消去律R是无零因子环R的乘法满足右? ＜四＞　整环 定义?一个环叫做一个整环、、、都是整环，而、(n是合数)、不是整环． ＜五＞　除环、域 ? ? 例只包括一个元，加法和乘法是：???????? 则R是一个有单位元环，单位元a有一个逆元，就是a本身? 例、、中任意一个逆元． 一般的，我们有如下的概念． 定义?一个环叫做一个除环，假如至少包含一个不等于零的元；有单位元；的每一个不等于零的元有一个逆元 ?交换除环叫做域 、、都是域． 容易证明，除环?　 ?命题3.1.3??(1) 除环零因子????(2) 设R是一个，则R是除环对于乘法一个群除环除环，方程和都有惟一解． 注1　在除环，与未必相等．若R是域，则，统一记为，称为b除以a的商，易知商具有与普通数相似的一些性质（具体见教材P91）． 例是实数域上的四维向量空间，为其一组基，规定基元素之间的乘法为： （１）；　　（２）． 将其线性扩张为中的元素之间的乘法．则关于向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之为（Hamilton)四元数除环或四元数体． 证对于乘法一个群中的每个非零元均可逆：事实上，设，则，令 ，则，即可逆，从而为除环． 注1 还有其他的定义方式，如定义为复数域上的二维向量空间（见教材P92）或复数域上的二阶方阵环的子环（见N.Jacobson《Basic Algebra I》）． 注2　爱尔兰数学家W.R.Hamil