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关于实数的完备性 问题 1.为什么要引入确界概念？ 答： 引入确界概念的 目的是为了补加一种描述实数连续性的方法，从而 给证一些问题带来方便.  我们知道，任何有限数集都有最小数与最大数，这个最小数与最大数分别 就是该有数集的下边边界与上边边界。因此，对有限数集来说，并不难批出它 的下边边界与上边边界。 对无限数集，情况就复杂了。若无限数集上方 （下方）无界，自然没有上 边（下边）边界。若无限数限有上界（下界），如果它存在最大（小）数，那 么这个最大 （小）数就是它的上边 （下边）边界；如果它不存在最大 （小）数， Ï n  Ì | nŒN }  那么哪个数可以作为它的上边 （下边） 边界呢？例如， 无限数集 Ón+ 1  有上界，但是没有最大数，那么哪 个数可以作为它的上边边界呢？我们就把 Ï n  Ï n  Ì | nŒN }  Ì | nŒN }  无限数集 Ón+ 1  的一个上界，而它又是最接近无限数集 Ón+ 1  的 Ï n  Ï n  sup |n ŒN  = 1  | nŒN  Ì }  Ì }  数  1，即它的上确界 Ón+ 1  作为数集 Ón+ 1  的上边边界。 于是，有上界没有最大数的无限数集，它的上确界就起到了它的上边边界的作 用。 例如，我们经常说“开区间 (a,b ) 的长是b- a”,这是怎样计算 （定义）的 呢？显然，开区间 (a,b)= {x |a x b} 是有界无限集，既没有最大数，又没有 最小数。但是，它却有下确界 a与上确界 b。我们就把开区间的下确界与上确 界分可分别作为它的下边边界。于是，开区间 (a,b ) 的长d就是  d = sup{x |a x b}- inf{x |a x b }  = sup{y - x |x,y Œ(a,b),y x }  = b- a.  由此可见，引入确界概念的重要性与必要性。 问题 2．上确界（下确界）有哪些等价叙述？ 答： 上确界supE b 有三种等价叙述： 1  (i)x ŒE fi x £ b ,  Ï Ì 1） Ó (ii)e 0, $x0 Œ E fi b - e x0.  (i)x ŒE fi x £ b ,  Ï Ì 2） Ó (ii)e b , $x0 ŒE fi x x0.  b = min{y |x ŒE,x £ y}  b 3）  ，即数集 E 的上确界 是数集 E 的上界数集中 最小数。 下确界inf E = a 也有三种等价叙述：  (i)x ŒE fi a £ x ,  Ï Ì 1） Ó (ii)e 0, $x0 ŒE fi x0 a + e .  (i)x ŒE fi a £ x ,  Ï Ì 2） Ó (ii)x a , $x0 ŒE fi x0 x.  a = max{y |x