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高三复习课 复数与方程 上海市上南中学 教师：王孟琛 引例2:在复数集上分解因式： x2-2x+10 解1:方程x2-2x+10的Δ -36， ∴方程的两根是:x1 1+3i，x2 1-3i ∴ x2-2x+10 x-1-3i x-1+3i 解2：x2-2x+10 [ x-1 2 +9] [ x-1 2– 3i 2 ] x-1-3i x-1+3i 引例3.关于x的方程： x2 + -5+i x+6-2i 0 1 若x∈R， x2-5x+6 + x–2 i 0 由复数相等的条件，得： x2-5x+6 0，且x–2 0， ∴方程的实数解是： x 2 2 若x∈C， 方程一根是： x 2 ，设另一根为x2， 由根与系数的关系：2+ x2 5-i，∴ x2 3-i ∴方程的数解是： x1 2, x2 3-i 问题讨论 1.如何解含有复数共轭和模的方程 ？ 2.如何在复数集中解实系数一元二次方程？实系数一元二次方程有哪些性质？ 3.虚系数一元二次方程有哪些性质？ 复习 二.在复数集中,一元二次程:ax2+bx+c 0 a≠0 a，b，c都是实数 ，有如下性质： 三.若a，b，c不全都是实数，则为虚系数一元二次方程，有如下性质： 例1：设z∈C，解方程： |z|2- 2-i z 分析：这个方程次数不高，又含有z, ,|z|， ∴可设z x+yi，代入方程后，利用复数相等的条件。 解：设z x+yi，（x，y∈R）， 代入方程：x2+y2- x-yi 2-i x+yi x2+y2-x+yi 2x+y+ 2y-x i 例2：在复数集上解方程: x2-5|x|+6 0 思路分析: 1 方程含有复数的模|x|,设x a+bi a,b∈R ,把复数问题实数化. 2 方程变为x2 5|x|-6,从中可知x必是实数或纯虚数. 例3: 若关于x的方程x2+5x+m 0的两个根x1，x2满足|x1-x2| 3，求实数m的值． 思路分析:这是实系数一元二次方程, 若Δ≥0, x1，x2是两实数根, 则|x1-x2|2 x1-x2 2 x1+x2 2-4 x1x2 若Δ 0, x1，x2是两共轭虚数根, 则|x1-x2|2 - x1+x2 +4 x1x2 例4：方程x2-2x+1-4a 0 a∈R 的两根为α、β ，求：f a |α|+|β| 的解析式： 分析:Δ 4-4 1-4a 16a 由根与系数的关系 分类： 1 a 0时, α、β共轭虚数； 2 a≥0时， α、β是实根； 0≤a≤1/4时， α、β 同为非负实数； a 1/4 时，α、β为异号两实数。 例5：在复数范围内分解因式：x3-x2+3x+5 例6: 已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s 0的一个根为2i-3，求r，s的值． 例7：方程x2+ m+2i x+2+mi 0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解． 例8.复数集上解方程: 例9:已知方程x2+mx+1+2i 0（m∈C）有实根，求|m|的最小值． * * 引例 1.设z∈C，解方程：2.在复数集上分解因式：x2-2x+10 3.关于x的方程： x2 + -5+i x+6-2i 0 1 若x∈R，解这个方程； 2 若x∈C，解这个方程。 引例1：设z∈C，解方程： 解：令Z a+bi a,b∈R 代入原方程 得 ∴方程的解是 一.含有未知数 和|z|的复数方程的解法，通常设z x+yi,代入原方程，再利用复数相等的条件化为方程（组）解决，就是把复数问题实数化。 1 △≥0时，方程有两个实根： 4 实系数一元二次方程的虚根成双出现； 2 △ 0时，方程在C上有 两个互为共轭虚根： 3 根与系数的关系：无论△≥0还是△ 0都有: 1.如果求实数根，可实部与虚部分离，利用复数相等的条件来解； 2.用判别式△来判断方程根的情况无效； 3.违达定理仍然适用； 4.虚根成双出现的性质无效。 ∴原方程的解:z 0或z 2+2i。 ?注意:|a|2 a2在a为实数时成立。