指數與對數的應用.PDFVIP

指數與對數的應用 建國中學‧林信安 老師 3-5-3 指數與對數的應用 等比數列與級數 (1)定義等比數列 國中階段我們已學過等差數列 ，但有規律的數列並不只有等差關係，以下我們可列出其他 一些的數列： A ：2 ，6 ，18 ，54 ，162 ，486 B ：3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 ，3 1 1 1 1 1 1 1 C ： ， ， ， ， ， ， 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 D ： ， ， ， ， ， 2 4 8 16 32 64 E ：5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，5 ，5 F ：0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 在上述的六組數列當中，數列 是等差數列，公差分別為 。 6 18 54 162 486 而觀察數列A ，將相鄰的後項除以前項，即 = = = = = 3 ，我們將此數 2 6 18 54 162 列關係稱為「等比數列」。 定義： a2 a3 an 數列的首項a1 ，第2 項a2 ，… ，第n 項an ，若滿足 = = … = = r ，r0 ， a1 a2 an1 （即後項除以前項為定值r ），則稱r 為公比、此數列a 為等比數列。 n (2)等比數列的一般項 如同等差數列，我們希望能夠不使用列舉的方法，而由首項a1 、公差d 及項數n 的資料， 直接找到第n 項an 的值；在等比數列中，我們也要由首項a1 、公比r 、項數n 導出第n 項 an 的公式： 設等比數列的首項為a ，公比為r ，則第n 項a =a rn1 。 1 n 1 例題1 (1)一等比數列的第五項為48 ，第八項為384 ，則首項、第十項分別是多少？ (2)一等比數列的第五項為45 ，第七項為135 ，則首項、公比分別是多少？ Ans ：(1) 3 ；1536 。(2) 5 ； 3 1 例題2 四正數a,b,c,d 成等比數列，若a+b=8 ，c+d=72 ，則此數列之公比為何？ Ans ：3 練習1 寫出下列各數列的第n 項an 的表示法： (1) 2 ，4 ，6 ，8 ，… 。an= ？ 2 4 6 (2) ， ， ，… 。a = ？ 3 6 9 n (3) 32 ，33 ，34 ，… 。a = ？ n (4) 253 ，455 ，657 ，… 。a = ？ n 2n n+1 2n+1 Ans ：(1) 2n (2) 3n (3) 3 (4) 2n5 練習2 1 已知一等比數列的首項16 ，公比為 ，求此數列前10 項之積。