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合并以上三式得： —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 二、简单的应用 四、通量与散度 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面?指定侧 的流量为 则由第二类曲面积分的物 因为流体不可压缩且流动是稳定的，有流体流出 的同时，其内部必须有产生流体的“源”产生同样多的流体来进行补充，故左端解释为 内的源在单位时间内所产生流体的总质量 W W 高斯公式的物理意义: 右端物理意义：单位时间内 流出 的流体的总质量. W 1. 通量的定义: ? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有源; 表明 ? 内有洞(或汇) ; 表示一稳定流动的不可压缩 流体的速度场, 则, 2. 散度的定义: 高斯公式可写成 表明该点处有源, 表明该点处有汇, 表明该点处既无源也无汇, 其值表示源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 于是, 散度是通量对体积的变化率, 且 其值表示汇的强度. 10.7 斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 对有向曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定: 当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时,拇指所指的方向即有向曲面 的侧. (右手法则) 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 (斯托克斯公式) 另一种形式 便于记忆形式 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 证明 如图 则 (利用格林公式) 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 这就是把对第一类曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域 注 对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性 对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数 若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数 完全类似于三重积分的对称性 应用： 质量 重心 转动惯量 10.5 第二类曲面积分 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧 和下侧 曲面分内侧 和外侧 曲面分左侧和右侧 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 曲面的侧 设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法 线 ), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方 向. 又设 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点 且不超出 S 边界的闭曲线. 当 S 上的动点 M 从 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特 征: 出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. 否则, 若 由某一点 出发, 沿 S 上某一封闭曲线 回到 时, 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 S 是单侧曲面. 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 1 实例: 流向曲面一侧的流量. 二、概念及性质 i. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . ii. 近似 iv.取极限 由第一类曲面积分定义,知 iii. 求和 设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 个向量函数 2. 定义. 其中P, Q, R 在?上有界,则称第一类曲面积分 分, 或第二类曲面积分. 为向量函数A 在有向曲面?上对坐标的曲面积 称为有向曲面?的有向曲面元, 它在yoz平面, xoz平面, xoy平面上的投影分别为 则有 因此有两种形式第二类曲面积分 而 引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为 称为Q 在有向曲面?上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面?上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面?上对 y, z 的曲面积分; 其中