02材料力学基础.ppt

7.2 梁的弯曲内力 1.基本概念 以图a所示的简支梁为例，用截面法来分析梁横截面上的弯曲内力。 梁的弯曲内力有与横截面平行的剪力Q和使梁的轴线曲率发生改变的弯矩M。 剪力：在梁的某一截面上，与外力主矢平衡的内力分量，它与横截面平行，记作Q。 弯矩：在梁的某一截面上，与外力主矩平衡的内力，其矢量垂直于梁的轴线，并使梁的轴线曲率发生变化，记作M。 2.剪力和弯矩的计算 以图a所示的简支梁为例，用截面法来计算梁横截面上的弯曲内力。 先用平衡方程求出约束反力 再取左段梁（图c）为研究对象，取横截面的形心C为矩心，列平衡方程，计算弯曲内力：剪力Q和弯矩M。 若取右段梁（图d）为研究对象，同样可求得剪力Q和弯矩M为： 计算弯曲内力－剪力与弯矩的一般步骤是：先根据梁的外载荷求出约束反力；然后用截面法，根据外载荷和约束反力，利用平衡方程求出剪力和弯矩。 横截面上的剪力，在数值上等于其左段或右段梁上所有外力的代数和；横截面上的弯矩，在数值上等于其左段或右段梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 3.剪力与弯矩的正负规定 对剪力和弯矩的正负作出如下规定： ⑴截面上的剪力使所取研究对象有顺时针方向转动趋势者，为正；反之为负； ⑵截面上的弯矩使所取研究对象产生向下凸的变形者，为正；反之为负。 4.弯矩图 剪力图和弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的图形。 以截面离梁的某一端（左端）的距离x来表示截面的位置，剪力Q就是一个x的函数Q=Q（x），这个关系式称为剪力方程。 相应地，表示弯矩的方程M=M（x）则称为弯矩方程。 实际上，只有在梁的跨度很小的情况下，剪力才能对梁的强度和刚度产生较明显影响，而绝大多数的梁，弯矩是强度、刚度的决定因素。 因此，一般只着重于弯矩的分析计算。 ※建立Q、M方程及画Q、M图时应注意的问题 ?确定“控制面”的弯矩和剪力时，要应用截面法，用假想截面从所考察的截面处将梁截开，与求拉伸和扭转时的内力一样，切不可将截面附近处的外力当作截面上的弯矩和剪力。对截面法熟悉后，可以不必在纸面上画出截开后的图形，但一定要有截开的概念。 ?求约束反力及截开后求剪力、弯矩时，可应用静力学中力的简化方法进行计算，但在截开之前，不能将梁上的外力简化，并用静力学等效的梁替代原梁求剪力、弯矩。 ?弯矩、剪力的正负号不仅关系到所画的弯矩图和剪力图是否正确，而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响，因此要特别注意避免发生正负号的错误。因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后按弯矩、剪力的符号规定来确定它们的符号。 一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、剪力为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实际方向相反，即为负。 7.3 梁的弯曲应力 纯弯曲：若某段梁的横截面上只有弯矩、没有剪力，则这段梁的受力状态称为纯弯曲。纯弯曲梁的所有截面上弯矩为常量。如图所示的AB段梁，其受力状态就是纯弯曲。 1.纯弯曲横截面上的应力及其分布 取一矩形截面的直梁，在它的侧面画上纵向线aa、bb和横向线nn、qq，如图a。然后在梁的纵向对称面内施加一对等值、反向的力偶M，使梁产生如图b的纯弯曲变形。从变形后的纵向线a′a′、b′b′和横向线n′n′、q′q′可以看出： ⑴ 横向线在变形后仍为直线且仍与纵向线垂直，但发生了相对转动； ⑵ 纵向线变成弧线，凹边的线段a′a′比原先的aa缩短，凸边的线段b′b′比原先的bb伸长。 弯曲变形中保持纵向长度不变的这一层，称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过横截面的形心。 中性层以上，离中性层越远，缩短得越多；中性层以下，离中性层越远，伸长得越多。 用线应变的概念来描述就是：材料的纵向应变与到中性层的距离成正比，中性层一侧的线应变为负（缩短），中性层另一侧的线应变为正（伸长）；中性层处线应变为零。 梁弯曲时横截面上各点正应力σ的大小，与该点到中性轴的距离y成正比。 中性轴处的应力为零，梁的凹边顶层压应力最大，凸边底层拉应力最大。 梁纯弯曲时横截面上各点正应力的分布情况如下图。 2．横截面上应力与弯矩的关系 因为横截面上的内力－弯矩是整个横截面上应力的合力，因此内力和应力两者的大小和方向都互为因果，即 ⑴ 每一点的正应力值都与弯矩成正比；