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第一章 数与函数 §1.1 数 为了记录事物的量，人们发明了数，数是描述事物的量的基本概念。人类对数的认 识是在不断发展的，从整数到分数、从正数到负数、从有理数的无理数、从实数到复数、 从c 数到q 数，……，这个发展过程从远古时代一直持续到现在，至今也没有结束。 认识不断发展的动力有两个方面：生产生活的需要是外部动力，理论完善的要求是 内部动力，这些推动着人们对数的认识不断深化。 1.1.1 数的扩张 1）自然数 人类最先认识的数是自然数，自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中逐渐抽 象出来的。自然数集合记为N ，在自然数之间可以进行加法和乘法运算：加法运算满足 交换律 a +b b =+a 与结合律 (a +b) +c a =+(b +c) 乘法运算也满足交换律 a ⋅b b =⋅a 与结合律 (a ⋅b) ⋅c a =⋅(b ⋅c) 这两种运算之间还满足相容性关系，即分配律 (a +b) ⋅c a =⋅c +b ⋅c 上述法则称为算术基本定律。 自然数之间也可以定义加法的逆运算——减法，乘法的逆运算——除法，以及乘方 和它的逆运算——开方，不过这些逆运算不一定封闭，即运算的结果不一定是自然数。 2 ）有理数 在生产与生活中，我们不仅需要计数，而且也需要度量长度、面积、重量和时间这 1 样的量。在选取一个适当的单位后，度量问题就变成了计数问题。然而，度量的对象是 可以任意细分的，无法用自然数来自如地表示。这样就产生了对自然数进行扩张的外部 推力。 另一方面，任意两个自然数都可以相加，得到的仍然是自然数，换句话说，自然数 对于加法运算是封闭的。但是对于其逆运算减法来说，自然数就不封闭了。例如在自然 数范围内减法3 −5 就无法进行，或者说，加法方程x +5 3 无解。 随着认识的深入，人们逐渐认识到某些减法运算之所以没有意义，可能是自然数本 身不够完备的缘故。例如，从只有3 个苹果的篮子中取出5 个苹果是没有意义的，但是 气温由3 度再下降5 度是有意义的。这样就产生了对自然数进行扩张的内部动力。 按照对减法运算封闭的要求，对自然数进行扩张，即把所有两个数相减的结果都定 义为新数包含在集合中，就得到了一个更大的数的集合——整数。在整数中对于加法及 其逆运算都是封闭的，或者说任意的加法方程都有解。 然而，整数对乘法的逆运算也不封闭，即在整数范围内乘法方程a ⋅x b, a =≠0 不 一定有解。按照对除法运算封闭的要求对整数进行扩张，我们得到了有理数集合。有理 数对于加法及其逆运算与乘法及其逆运算都是封闭的，即任意的加法或乘法方程都有 解。用近世代数的术语，配备了加法和乘法，对这些运算及其逆运算封闭并且满足相应 运算律的集合称为数域，有理数是一个数域，称为有理数域，记为Q 。 按照有理数的度量意义，它可以理解为一个可公度线段的长度。在一条直线上适当 定义了原点和正向之后，可以把有理数用对应的点来表示，这样的直线称为数轴。 在有理数与自然数之间可以建立一一对应关系，即可以排成一个序列。例如我们可 以用下图来证明正有理数集合与自然数之间的一一对应关系。 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 4 4 4 4 4 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 图中第n 列的分子都是n ，第k 行的分母都是k 。排列的方式是从左上角开始，按照斜 行从上到下，自左向右。即按照如下方式排列 2 {1, 1 ,2, 1 , 2 ,3, 1 , 2 , 3