5.2留数定理的应用.ppt

曲线积分与曲面积分 第二节 留数定理的应用 一、用留数定理求积分 二、亚纯函数的零点与极点的个数 定理 5.2.1 证： 例8 解 *三、辐角原理 引理 5.2.3 证： 定理 5.2.2(辐角原理) 辐角原理 证： * 一、用留数定理求积分 1. 闭曲线上的积分 例1 解 例2 解 例3 解 2. 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 形如 当 历经变程 时, 的 正方向绕行一周. z 沿单位圆周 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 例4 解 例5 解 3. 有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 分析 可先讨论 最后令 即可 . 引理 5.2.1 证 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可取 f(z)=R(z) . 分析 x y . 取r适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 这里可补线 (以原点为中心 , r为半径 的在上半平面的半圆周) 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 根据留数定理得 : 例6 解 x y 例7 解 x y 二、亚纯函数的零点与极点的个数 引理 5.2.2 证： 定义 具有下列形式的积分: 说明: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 在C内孤立奇点处的留数的代数和; 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点. 对数留数 *