《经济学与金融学中的随机方法（中文版-上海交通大学金融工程中心）》.pdf

《经济学和金融中的随机方法》 第一章 第一章 概率论的若干结论 概率论的发展归功于精确地论述 越来越复杂的观测结果。 M. Loeve（1977，P. 7） 1. 引言 在本章中,我们将以定义、定理和例子的形式给出现代概率论的各种概念。这些概念取材 于大量的材料，将为读者提供本书后续章节的背景材料。尽管本章的某些节内对于一些概念 一带而过，但有些节将详细叙述诸如鞅和最优停时等概念，读者可以从几个例子中看到概率 论的鞅论和最优停时理论在经济分析和金融中的应用。阅读本章至少可以从以下两个方面受 益：首先，了解各种应用概率模型的理论框架；其次，熟悉应用研究中广泛使用的鞅和最优 停时理论。 2. 概率空间 在一次试验中可能发生，也可能不发生，具有偶然性的事件称为试验的结果。试验所有 的结果构成一个集合，由Ω来表示。集合或空间Ω的元素由ω来表示，称为样本点。Ω的 一个子集称为一个事件。例如，考虑下个月美国失业人数占整个劳动力人数的比例，样本空 间Ω由[0,1]区间上的所有有理数构成，而ω 0.065 即为一个元素或样本点。失业率不超过 0.07 ，或者失业率介于0.06 和0.08 之间均为事件。直观上讲，概率就是对在族上的某类事 件的评价。 设Ω为由点ω组成的任意空间。在概率研究中，如果Ω的某一子集族是重要的，可定 义Ω的该族子集为σ−域或σ−代数，本书中以F 来表示。我们称F 为一个σ−域，如果 它满足以下三个条件： （1） Ω∈F ,即F 包含了空间Ω本身； A ∈F 意味着Ac ∈F ，即如果事件A （A 为Ω的一个子集）属于F ，则A 的补 （2） 集 A c 也属于F ； A , A , A , ∈F 意味着A ∪A ∪A ∪⋅⋅⋅∈F ，即如果Ω的可列子集属于F ， （3） 1 2 3 1 2 3 则这些可列子集的并集也属于F 。 我们称F 的所有元素为可测集。值得一提的是，对于一个给定的集合Ω，其最小的σ − φ Ω Ω Ω 域是由空集 和集合 自身所构成，而最大的σ −域则由 的幂集，即 的所有子集而构 成。最大的σ−域由Ω的2Ω 个子集组成。这样一对(Ω,F ) 称为一个可测空间。 1 《经济学和金融中的随机方法》 第一章 令ς 为Ω一个子集族。所有包含ς 的σ −域的交称为由ς 生成的σ −域，记为σ(ς) 。 1 1 作为例子，我们考虑由实直线R 的子集—(a,b] 区间族而生成的σ −域，这个σ −域用ℜ 来 表示，其元素称为Borel 集。注意，ℜ1 是包含所有R 1 区间族的最小的σ −域；特别地，它 包含了R 1 的所有开集和闭集。直观上来说，ℜ1 是由R 1 区间开始，经过一系列所有可能的有 限和可列集合理论运算（并、交和补）而得到的。 如前所述，概率是对某类事件族上的评价。现在给出其严格的定义。令(Ω,F ) 为一可测 空间。定义在F 上的一个集合函数μ称为一个测度，如果它满足下面的条件： （1） μ(φ) 0 ； （2） A ∈F