djl第二章新版最终版9.16.ppt

? 概率统计教研室 2012 ?偏度（Measure of skewness）。 设 是随机变量， 称为随机变量分布的偏斜系数，简称偏度。 若 称 的分布是正偏的（不对称，向右偏）； 若 称 的分布是负偏的（不对称，向左偏）； 若 称 的分布是关于期望对称的。 偏度的绝对值越大，表明偏斜程度愈大。所以偏度是描述随机变量分布偏斜方向与偏斜大小的一个数字特征。 ? 概率统计教研室 2012 ?峭度 （Coeffcient of kurtosis） 设 是随机变量，称 为随机变量分布的峰态 系数或陡峭系数，简称峰度或峭度。 表示所研究分布曲线与正态分布曲线相比较的结果。 表明的分布曲线比正态分布曲线尖峭； 表明的分布曲线比正态分布曲线平坦； 表明的分布曲线与正态分布曲线陡峭度相同； 峰度的绝对值愈大，表明随机变量在尖峭与平坦这一特征上与正态分布的差别愈大。所以峰度是描述随机变量分布与正态分布之间陡峭程度差异大小的一个数字特征。 ? 概率统计教研室 2012 ? 一元随机变量函数的数学期望 是随机变量 的函数 （1）离散型 （2）连续型 ? 概率统计教研室 2012 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函 数的期望带来很大方便. 解：因为 ? 概率统计教研室 2012 例2.34 已知 的分布表如下，试求 及 的数学期望。 解： ? 概率统计教研室 2012 利用X的分布可求出 的分布是自由度为1的卡方分布 即若 ，则 ， 且 。 例2.35 已知随机变量 ，求 的数学期望。 解：由定义计算 ? 概率统计教研室 2012 ? 随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，如果随机变量 的数学期望存在，则 的数学期望也存在，即E(kX)=kE(X)； 3. 如果随机变量 的数学期望存在，则 的数学期望也存在，即 ? 概率统计教研室 2012 例2.36 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0,1,2 所以，产生故障的仪器数目的数学期望 ? 概率统计教研室 2012 数学期望在医学上的一个应用 An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X，需要计算X的数学期望，然后与10比较 ? 概率统计教研室 2012 化验次数X的可能取值为1，11 先求出化验次数X的分布律 {X=1}=“10人都是阴性” {X=11}=“至少1人阳性” 结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。 注意求 X期望值的步骤！ 问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？ 2.概率p对每组人数n的影响? ? 概率统计教研室 2012 ? 数学期望在使用过程中也有不便之处，主要是由于①对于比较复杂的分布,计算上比较繁琐；②对于有的分布，数学期望不存在；③用试验观测数据计算数学期望时，若试验观测数据中有一些离群的数据（通常是指极大、极小的极端值），而又没有充分根据剔除它们的时候，用数学期望来代表全体数据取值的平均水平不是很理想。为此，概率论与数理统计中，引入如下定义表达“平均值”的数字特征。 ? 概率统计教研室 2012 ? 中位数 定义2.6.3 设 是随机变量 的分布函数，如果存在实数 ，使得 ，则称实数 为随机变量 的中位数，记作：