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* 第6章 机器人动力学 机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。 机器人动力学问题分为两类： 一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题； 另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人逆动力学问题。 刚体定轴转动与惯性矩 刚体定轴转动微分方程： 其中I称为绕固定轴的惯性矩（也称为转动惯量），t是作用在固定轴上的合外力矩。 质量为m的质点，其在直线上运动的动力学问题可以用牛顿第二定律描述： 或者 比较（6-1）和（6-2）式可以发现，刚体定轴转动和质点的直线运动的动力学方程的形式是完全相同的。因此，I可以看成刚体定轴转动的惯性质量。 （6-2） （6-1） * 图6-1 圆盘绕过圆心轴惯性矩 下面以图6-1所示质量为M半径为R的均匀圆盘绕过圆心的Z轴的惯性矩计算问题给出惯性矩的定义： （6-3）式给出了任意刚体绕固定轴惯性矩的定义，其中dm是微元体质量，r是微元体到转轴的距离，V是刚体的体积，因此（6-3）表示在整个体积上积分。 对于图6-1所示均匀圆盘，面密度?=M/(?R2)，取极坐标微元体，则 图6-2 匀质杆绕质心惯性矩 例6-1 如图6-2 所示匀质杆，质量为M，杆长为L，计算绕质心的惯性矩。 解：匀质杆的线密度?=M/L，取微元体 dx，则 * 平行移轴定理：刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 其中CI 表示刚体绕质心轴的惯性矩，M为刚体质量，d为两轴之间的距离。 若已知刚体绕质心轴的惯性矩，则刚体绕任意平行轴的惯性矩可以非常方便地利用平行移轴定理（6-5）进行计算。 （6-5） 例如，计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩，根据平行移轴定理， 可以验证，与采用积分方法计算的结果相同。 刚体的惯性张量 对于在三维空间自由运动的刚体，存在无穷多个可能转轴，计算绕所有转轴的惯性矩显然是不现实的。 图6-3 空间刚体的惯性张量 因此需要考虑这样的问题： 是否存在一个量，它能够表示刚体绕任意转轴的惯性矩？ 答案是肯定的，该量就是刚体的惯性张量。 它描述了刚体的三维质量分布，若惯性张量在某坐标系下表示出来，它是一个3阶对称矩阵。 定义了固连的坐标系{A}，在坐标系{A}中惯性张量为： * 惯性张量是一个对称矩阵，各元素的值为， 其中dv表示单元体，r表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。 惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。 惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交叉项全为0。 称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。 对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。 例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密度为r，质量为M，计算其惯性张量。 解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得： （6-8） * 同理可以得到另外两个惯性矩， 下面计算惯性积， 同理可以得到另外两个惯性积， 对于惯性张量的计算问题，平行移轴定理也是成立的，下面给出其中两个表达式，其余的四个表达式与此类似： * 式中是[xc yc zc]T是刚体质心在{A}坐标系下的坐标。需要说明的是，在使用平行移轴定理时，{A}坐标系和质心坐标系{C}的姿态必须相同。 例6-3 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体在质心坐标系（原点位于质心，坐标系姿态与原坐标系姿态相同）下表示的惯性张量。 解：根据平行移轴定理计算，其中 因此得， 其它四个值可以采用类似的方法获得。在质心坐标系{C}下，刚体的惯性张量为 结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的惯性主轴。 其中M表示刚体质量，F表示作用在刚体上的合外力矢量， 表示质心速度矢量。 * 刚体的牛顿-欧拉方程 在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。 刚体质心的平动用牛顿第二定律描述 刚体绕质心的转动用欧拉方程描述 其中CI表示刚体在质心坐标系{C}下表示的惯性张量，N表示作用在刚体上的合外力矩矢量，w表示角速度矢量， 表示角加速度矢量。 式（6-11）和（6-12）一起称为刚体的牛顿-欧拉方程。分析机械臂的动力学问题时，首先对每个连杆列出牛顿-欧拉方程，同时需要分析连杆间的速度、加速度传递关系以及力的传递关系。 6-11） （6-12） * 拉格朗日方程 上节介绍牛顿-欧拉方程是采用几何矢量方法建立每个连杆的动