第五部分 解析几何.docVIP

第五部分 解析几何 常见结论 斜率公式的应用：可证明三点共线：三点共线； 直线的倾斜角和斜率： 任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于90°时，斜率不存在； 若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在； 若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等； 当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大； 与轴平行或重合的直线的倾斜角为零，斜率也为零； 直线方程的截距式适用于直线的横纵截距都存在且都不为零的情况； 两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在； 两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零； 与已知直线平行的直线系方程为； 两平行直线间距离公式： 与的距离 设，以线段为直径的圆的方程为： 几种特殊的圆的方程 设圆的圆心为，半径为 （1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为： （2）若圆与x轴相切，则圆的标准方程为： （3）若圆与y轴相切，则圆的标准方程为： （4）若圆心在x轴上，则圆的标准方程为： （5）若圆心在y轴上，则圆的标准方程为： （6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为：或 若圆方程为，圆外有一点，则过点P向圆作切线有两条，且切线长为 若二元二次方程表示圆，则满足 若圆与圆相交，则公共弦所在的直线方程为； 若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则 直线与圆的位置关系的判断： 【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则 （1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点； （2）直线与圆相离直线与圆无公共点； （3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点； 【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则 （1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点； （2）直线与圆相离直线与圆无公共点； （3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点； 圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为，半径分别为，则 （1）圆与圆相离两个圆有四条公切线； （2）圆与圆相交两个圆有两条公切线； （3）圆与圆相外切两个圆有三条公切线； （4）圆与圆相内切两个圆有一条公切线； （5）圆与圆相内含两个圆没有公切线； 在椭圆中离心率，在双曲线中离心率； 如果已知椭圆或双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或； 在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长； 在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长； 已知双曲线的渐近线为，在求该双曲线方程时为避免对焦点的讨论，可设方程为求解； 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；（利用“点差法”证明，过程如下） 【证明】设，则，因为都在椭圆上，所以满足， 两式相减得，， 所以 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即； 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即； 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即； 抛物线中焦点弦长问题： 在抛物线中，设焦点，直线过焦点与抛物线交于，把线段叫做抛物线的焦点弦， （1）若方程为，则，焦点弦的长； （2）若方程为，则，焦点弦的长； （3）若方程为，则，焦点弦的长； （4）若方程为，则，焦点弦的长； 22、在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切； 23、直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为，其中为直线的斜率； 例题分析 例1、（12重庆理3）任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ） 相离 B、相切 C、相交但直线不过圆心 D、相交且直线过圆心 【解析】此题考查直线与圆的位置关系的判断、考查学生的运算求解能力；判断直线与圆的位置关系有两种方法：一种是几何法，另一种是代数法；此题所给的直线不是定直线，可以考虑该直线是不是过某个定点； 因为直线恒过定点，定点到圆心的距离，即定点在圆内部，所以直线与圆相交但直线不过圆心，选C； 例2、（12浙江理3）设 ，则“”是“直线与直线l2 ：平行 的（ ） A、 充分不必要条件 B、 必要不充分条件 C、 充