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空间解析几何 第六章 §1　空间直角坐标系 直线上的坐标系 有向线段 空间直角坐标系 一、直线上的坐标系 有向线段 1.直线上的坐标系 中学代数和解析几何课程里，曾经介绍过数轴和直线 上坐标系的概念。在直线上，任意选定一个原点Ｏ， 一个正向（正向有两种可能的情形），和一个单位长 度，该直线就叫做数轴。 o 1 x 原点O把直线分为两个有向半线，从O出发，沿正向的半线叫做正半轴，沿相反方向的半线叫做负半轴。直线上任意一点P可以用这样一个实数x表示： 上一张 下一张 当P和O重合（P=O）时，x=0 当P O而在正半轴上时， 当P O而在负半思上时， 在这里， 表示线段OP的长；在一切情况下，|x|= ,直线上的点和实数之间建立了一种 “一一对应关系”，即不但直线上每一点P之间确定 唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x显然也确定直线上唯一的一点P，因此，直线称为数轴。 上一张 下一张 由上可知，对应于数轴上一点P的实数x也叫做P点的坐 标，这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点，一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系 上一张 下一张 2. 有向线段 坐标轴O x是有向线段，它上面的线段也可以是有向线段：若P1, P2为O x上任意两点，我们用 表示由P1到P2的有向线段（用 表示有向线段，以便和下一节的向量记号一致，因为有向向段本质上是向量）； P1是它的始点， P2是为它的终点。此外我们用 P1 P2代表有向线段 在坐标轴O x的代数长。其定义如下： 1）若P1,=P2，令 （0表示零线段），则 2）若 与 O x方向相同，则 3）若 与 O x方向相反，则 上一张 下一张 上一张 下一张 由定义易验证等式： 若P1,P2,P3为Ox轴上任意三点，则有向线段 的终点总是有向线段 的始点，因此无论这三点 在Ox轴上的顺序始何，很自然地令 为它们的和： （1） 根据数轴Ox上一点的坐标的定义和有向线段代数长的定义， 若P点坐标是X，则它就是有向线段 (3) 上一张 下一张 定理 Ox轴上有向线段 的代数长等于终点坐标减去始点坐标，即 证明 根据（3），有 根据（2）又有 (4) (5) (6) 根据（1），（5）有 代入（6）得（4）的证明。 由上述定理，可以看出有向线段的长是 二 、空间直角坐标系 对于二维空间, 我们引入相应直角坐标系 的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的 数轴而成. 对于三维空间, 我们可类似地建立 相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点O, 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 且具有相同的单位长度, 这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴. 上一张 下一张 1. 直角坐标系的建立 数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如 0 x y z 0 x y z 0 x z y 0 x y z 为统一起见, 我们用右手法则确定其正向. O x y z 上一张 下一张 主要名称与记号: 坐标平面: 三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面. xoy 平面, yoz 平面, zox 平面. 上一张 下一张 2.空间点与数组的一一对应 空间点在空间直角坐标系中的表示法. R Q P O x y z M x y z 如此, 记P, Q, R 在x 轴, y 轴, z 轴上的坐标 依次为x, y, z. 因此, 点M 一一对应于 有序数组 (x, y, z). 上一张 下一张 点M ? (x, y, z) 记为M (x, y, z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 x, y, z 称为M 的坐标. * * * *