北大2014考研高等代数部分试题解答思路.pdf

本文由 SCIbird 编辑整理 北大 2014 高等代数部分试题解答思路 SCIbird 1. 令 2013 f (x ) = (x −i )2 +2014 ∏ i=1 问多项式f (x) 是否在有理域内可约？说明理由。 猜想f (x) 不可约，但不会证明。最初发现2014 =2×19×53 ，进而试图证明f (x) 除最高项外，所有系数都是偶数，然后取p =2 应用爱森斯坦判别法。但发现这 个猜想不成立，因为这意味着f (1) 是奇数，但f (1) =2014 是偶数。多次尝试没有 成功，放弃。感觉就难度而言，这道题不应该放到第一位。 2. 如果MNMN 为零矩阵，那么NMNM 是否为零矩阵？说明理由。 结论是否定的，NMNM 不一定是零矩阵。质数同学给出了反例： ⎛0 0 0⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M =⎜0 1 0 ⎟⎟, N =⎜0 0 1 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝0 0 1⎠⎟ ⎝⎜0 0 0⎠⎟ 直接验证可知MNMN 为零矩阵，但NMNM 不是零矩阵。 3. 除了单位矩阵为，是否存在其它 n 阶埃尔米特矩阵M ，满足： 4M 5 +2M 3 +M =7E n 结论是不存在。证明的关键利用了如下结论：埃尔米特矩阵 M 的最小多项式 m(x) 的根都是实根。令f (x) =4x5 +2x3 +x −7 ，则f (1) =0 . 容易证明 f ′(x) =20x4 +6x2 +10 这说明f (x) 是严格单调递增的，故f (x) 有惟一的单实根x =1，因此 m(x) =x −1. 故M =E . n 评注：本题有些分析味道，利用了函数单调性。证明f ′(x) 20x4 6x2 1 0 可 = + + 本文由 SCIbird 编辑整理 利用判别式法。 4. 设V 是n 维向量空间，线性变换A的最小多项式次数是n . n−1 (1) 证明：存在非零向量 α，使得α,Aα, L,A α是V 的一组基； (2) 任何与 A可交换的线性变换，均可表示成A的多项式。 证明的关键是“考虑非零向量α的最小多项式”。即考虑使得pα(A)α=0 的最小 多项式pα(x ) ，其中向量α是给定的。设线性变换A的最小多项式为m(x) ，类 似的证明可知pα(x ) 是m(x) 的因式。于是当α遍历V 中所有非零向量时，只能 得到有限个p (x ) ，不妨记作p (x ) , L, p (x ) . 定义