Green公式(I).ppt

以此种情况为例说明问题，切了一条线，对二重积分没有影响，所以可以认为D的边界是……. 作用类似于定积分中的牛－－莱公式 此体直接求也不难，只是想说明问题。 实际上就是利用二重积分求曲线积分。 此题的思想和方法尤其重要，务必掌握。 两个条件要满足？ * * 2007／06／06 §17.3 Green 公式 (I) （George Green，1793—1841） 一、 Green公式及简单应用 二、 曲线积分与路径无关性 三、 二元函数的全微分求积 主 要 内 容 一、 Green公式及简单应用 复连通区域 单连通区域 定理1 证明依赖于区域的形状 o A B C E 证明: o A B C E 同理可证 两式相加得 G F C E A B x y o L A B ? 1987年考研试卷一，一(4) . ) 4 ( ) 2 2 ( , 9 2 2 2 2 ò - + - = = + L dy x x dx y xy I y x L 求 取正向的圆周 设 例 1999年考研试卷一，四 解 x y o L y x o x y o (注意格林公式的条件) 解 2000年考研试卷一、五 Green公式应用技巧: 不闭则补，出奇则挖 x y o 格林公式 推论: 正向闭曲线L所围区域D的面积 例如, 椭圆 所围面积. 解 1. 连通区域的分类; 2. 二重积分与曲线积分的关系; 3. Green公式的简单应用. 英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到40岁，父亲去世后才得以到剑桥大学读书。44岁大学毕业，48岁因流行感冒去世。但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经典内容。当然也包括今天我们要学习的Green公式。他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。我们不但要学习…，更应该学习的是他的自强不息的精神。 连通的开集称为区域，区域的闭包称为闭区域。 此种情况下，以现在的图形为例，其他情况思想是一致的， L1是D1的边界曲线，L2是D2的边界曲线，L3是D3的边界曲线。 L1＝实线部分＋虚线部分，L2＝实线部分＋虚线部分，L3＝实线部分＋虚线部分， 虚线部分被抵消，…… * 2. 若区域由一条按段光滑的闭曲线围成. 曲线: 例7 计算抛物线与轴所围成的面积. 为直线. 设闭区域由分段光滑的曲线围成, 其中是的取正方向的边界曲线. 在上具有一阶连续偏导数, 1. 若区域既是型又是型区域, 即平行于坐标轴的直线和至多交于两点. 3. 若区域不止由一条闭曲线所围成. 添加直线段, . 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 例1 计算,其中曲线是半径为的圆在第一象限部分. 解 引入辅助曲线, 应用格林公式有： 例4 计算,其中为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,的方向为逆时针方向. 则当时, 记所围成的闭区域为, 令 , 有 . (1) 当时, 由格林公式知 (2) 当时, 作位于内圆周 , 记由和所围成, 应用格林公式,得 (其中的方向取逆时针方向) 例6 计算,其中是以为顶点的三 角形闭区域. 解 令, 则 , 计算, 同例4