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三、函数的解析表达式 2007年12月30日星期日1时9分28秒 一、函数的表示法 （1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：，，． 说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质； ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。（见课本P52页表1 国民生产总值表） 说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 （3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-3 我国人口出生变化曲线） 说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。 二、求函数解析式的方法 1、待定系数法 已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法； 基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定系数， 代入表达式求解。 例1．（1）已知一次函数满足，图象过点，求； （2）已知二次函数满足，，图象过原点，求； （3）已知二次函数与轴的两交点为，，且，求； （4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，． 解：（1）由题意设 ， ∵ 且图象过点， ∴ ∴． （2）由题意设 ， ∵，，且图象过原点， ∴ ∴ ∴． （3）由题意设 ， 又∵， ∴ 得 ∴． （4）由题意设 ， 又∵图象经过原点， ∴，∴ 得， ∴． 例2、已知是一次函数，并且满足，求函数的解析式。 　解：设， 则＝＝， 又，比较系数得解得， 所以所求函数的解析为。 2、配凑法与换元法：涉及复合函数的表达式时常用此法 ①已知的解析式，求时，把用代替； ②已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法。 凑配法：通过观察、分析，将右端变为接受对像的表达式，然后用来替代接受对像，从而得 出函数的解析式，这种方法称为凑配法。凑配法对变形能力和观察能力有较高的要求， 其实质仍是“换元”。 换元法：是在解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替，实现变量替换，从而求出函数的解析式的方法。 例3．（1）已知，求； （2）已知，求． 解：（1）． （2）法一配凑法： ∴ ． 法二换元法：令，则， ∴ ． 例4、已和，求函数的解析式。 解：令 即　。 注：运用换元法的关键在于选择适当辅的辅助元，特别要注意换元前后未知数的取值范围的变化，使求解的结果符合题意。 3、分段函数解析式 例5．函数在闭区间上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。 解：． 例6、已知是奇函数，且当时， 求当时的解析式。 解：当时， 当x0时，－x0，从而 又是奇函数，；。 4、消去法 利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，从而得到的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法。 例7、已知（其中都是非零常数且），求函数的解析式。 解：，将，从而得 　　由（1）（2）消去，即得 ，由于都是非零常数且， 从而＝　。 5、构造法 构造法就是在直接求解某一有困难时，可以根据已知条件，设计出“搭桥”“铺垫”性的方案，使原问题获解，或把原问题转化为新问题去求解。 例8、若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解， 则 不可能是（ ）。 A、　　　B、　　　C、　　　D、 解：构造函数，则，， ，即， 将各选项代入验证，得无实数解。故选B。 　　评析：一般情况下是两个不同的函数，面且两者之间也难以找到固定不变的内在联系，上述解法通过构造具体的简单的函数使获解，方法灵活。 注：构造函数解决数学问题是有条件的，有的数学问题具备构造函数的条件；也有的数学问题无须用构造法即能够解出，这时就不必要去“画蛇添足”了。 6、赋值法 通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式，此类方法称之为赋值法。 例9、设是R上的函数，且满足，并且对任意实数 有，求函数的解析式。 解法1： 令，则又，。 解法2：令，得 即 又