1.4 角平分线(第2课时).ppt

第2课时 4.角平分线 1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”； 2．进一步提高推理、证明意识和能力． 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一 点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两 边距离相等). A O C B 1 2 P D E 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D, E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). A O C B 1 2 P D E 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 用尺规作角的平分线. 作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线. A B O C D E 作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢? 点拨：要证明三条直线相交于一点， 只要证明其中两条直线的交点在第三 条直线上即可． 【验证】 【结论】 命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、F、E是垂足； ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上， ∴PD=PE． 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． P D E F A B C M N 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). P D E F A B C M N 【结论】 H 如图所示，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. 求证：BM＝CN 【跟踪训练】 【证明】连接BD,CD. ∵DE为BC的垂直平分线，∴DB＝DC. ∵AD为∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN,∠BMD＝∠CND＝90°, 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∵DB＝DC、DM＝DN， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴BM＝CN. 1.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A、∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线 的交点 C.P为AC、AB两边上的高的交点 D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 【解析】选B. ∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上， ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上. ∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点. 2. (巴中?中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 【解析】选C. 根据三角形三条角平分线的性质定理得. 3.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm. 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC， ∴点P到∠ABC两边的距离相等，∵PE⊥AB， PE＝4cm， ∴点P到BC的距离是4cm. 答案：4 4.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB的距离 . 【解析】∵BD:CD＝3:2,BC＝10,∴CD＝4,又∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，则点D到线段AB的距离等于CD,为4.