20100821层次分析.ppt

层次分析法模型 The Analytic Hierarchy Process 20’s 70年代由T.L.Saaty创立AHP 序 言 在日常生活和生产实践中，经常遇到作决策问题。在诸多的因素中下进行权衡。 决策又是定性的考虑问题。 层次分析法是一种定性和定量相结合、系统化、层次化的分析方法 传统的分析法：机理分析、统计分析 系统分析法是较新的方法，层次分析法就是其中之一。 一、基本步骤 1. 分析系统中各因素的关系，建立递阶层次结构模型 2. 关于某个准则，对同层各元素的重要性进行两两比较，构造成对比较矩阵 3. 计算权向量，并作一致性检验 4. 计算组合权向量，并作组合一致性检验 5. 给出排序向量 二、具体做法 2.1.建立递阶层次结构模型 2.1 EX1： 在三处旅游地(Pi, i=1,2,3)中选一个, 考虑因素包括: 景色、费用、居住、饮 食和旅途共五项。 2。1 特点：1. 层次关系明显 2. 同一层的各元素间相互独立 3. 自上而下的支配 注：支配有时可能不完全 2.2 1~9尺度(教材p236) 2.2 1~9尺度的来历: 2.2 EX1：(续) 2.3. 层次单排序及一致性检验 2.3.1 反过来，由A求出的权重向量应该与W一致, (最好相同) 2.3.1--2.3.2 2.3.2 和权重向量的存在性: Perron定理(李乔, 矩阵论八讲,上海科学技术出版社,1985) 对于正矩阵,有: (1)模最大的特征值是正的单根; (2)存在正的特征向量与之对应 2.3.3 2.3.3一致性和一致性矩阵: 2.3.4 定理 n阶正互反矩阵A的最大特征值 ; 当且仅当等号成立时A为一致矩阵. 2.3.4 2.3.4 CI=(5.073-5)/4=0.018 CR=0.018/1.12=0.0160. 2.4 2.4 组合权向量与组合一致性检验 2.4.2 2.4.2 2.4.2 选择旅游地问题的计算结果 k 1 2 3 4 5 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.688 3.005 3.002 3 3.009 3 CI(k) 0.003 0.001 0 0.005 0 根据(1)式可以求出方案成对目标层的权重向量 : 2.4.2 P3明显好于其它两个地方. 三、层次分析法的进一步讨论 3.2. 为什么用最大特征值对应的特征向量 作为权向量? 求向量W，使得q达到最小，其中 思路一：对数最小二乘法 结论： 思路二：图论中循环赛的一种排名法 邻接矩阵： 一级得分向量： 归一化权重： 其中： 二级得分向量： 三级得分向量： 归一化权重： 归一化权重： 名次为：1，2，4，3 8 级得分向量： 归一化权重： 其中 是A的模最大的特征值 对应的特征向量 可以证明： 3.3. 残缺成对比较矩阵时的补缺 残缺成对比较矩阵:某两个元素没有比较。 约定记为 残缺成对比较矩阵时的补缺：补充： 称为残缺成对比较矩阵的合理补缺。 3.4. 正互反矩阵最大特征值与特征向量的实用 算法: 幂法、和法、根法。 幂法 和法 相当于算术平均！ 根法 求几何平均！ 注意：当A一致时，和法与根法结论相同。 * 数学建模竞赛培训 主讲:刘振洁 2009-8 最高层(目标层) 中间层(准则层) 最低层(方案层) 决策目标O 若干准则或子准则 选择旅游地 目标层 景色 费用 居住 饮食 旅途 准则层 P2 P3 P1 方案层 例1-9 首先：建立递阶层次结构模型如下： 2.2. 构造成对比较矩阵 何为成对比较矩阵? 同层两元素之间, 相对于上一层的某个元素的重要性的权重比较 两两比较的优点是准确 注：成对比较实现了定性到定量的转化 因素i与因素j相比较, 对上一层相应 准则(因素)的影响程度;影响越强, 越大, 反之亦反. 成对比较矩阵-------n阶正互反矩阵 定性比较时人脑中的五个等级 心理学家认为成对比较的等级个数