高等数学 -何春江 1002 1002.pptVIP

第二节 偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数 1.偏导数的定义 * * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： ． 在点 定义 设函数 的某邻域内有定义, ,而 在 取得增量 时,函数 相应取得 如果极限 存在, 在点 处对 或 增量(称为偏增量): 固定 的偏导数,记为 则称此极限值为函数 一、偏导数 类似地,函数 在点 处对 记为 或 偏导数定义为: 的 2. 偏导数的求法 例1: 求z = x2 +3xy + y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 把 y 看成常数,得 把 x 看成常数,得 例2　求函数 的偏导数． 解: 例3 设 ,证明: 证 因为 所以 例4: 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.) 证: 因为 求证: 所以 = ?1 偏导数的记号 是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误． 例5: 求 在点(0,0)处的偏导数. 解: = 0 注意: 二元函数在某点存在偏导数, 并不能保证函数在该点连续,与一元 函数可导必连续是不相同的． 3.偏导数的几何意义 是曲面 与平面 的交线在点 处的切线 轴的斜率. 对 是曲面 与平面 的交线在点 处的切线 轴的斜率. 对 二、高阶偏导数 函数 它们都是 的函数, 如果这两个函 的偏导数也存在,则称它们的偏导数 的二阶偏导数． 数关于 是 的二个偏导数 四个二阶偏导数 二阶混合偏导数 类似地,可定义三阶、四阶以至 阶偏导 数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏 导数，而 和 称为函数的一阶偏导数． 例6: 设 z = x3 y2 ?3 xy3?xy +1, 解: 及 求 定理１　如果函数 的两个二阶混合偏导 在区域 内连续,则对任何 有 数 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与 求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的 结论．