离散数学 -贾振华 第五章 函数.pptVIP

第5章 函数 本章学习目标： 主要内容 5.1 函数的概念 5.1 函数的概念 5.1 函数的概念 5.1 函数的概念 5.1 函数的概念 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.2 函数的性质 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.3 复合函数与逆函数 5.4 置换 5.4 置换 5.4 置换 又如，h也是{1，2，…，6}上的置换，且 h＝ 则h可表示为： h＝（1，3，2，4，6） （5） 为了使表达式简洁，可去掉1次轮换，那么有 g＝（1，5） （2，4），h＝（1，3，2，4，6） 本章小结 根据这种表示方法，{1，2，3}上的置换可记为： f1＝（1） ， f2＝（2，3 ） ， f3＝（1，2） ， f4＝（1，2，3） ， f5＝（3，2，1） ， f6＝（1，3） * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 函数（又称为映射）是数学中最基本且最重要的概念之一。 在高等数学中，函数的概念是从变量的角度提出来，并且是在实数集合上讨论，这种函数一般是连续或间断连续的。在这里，我们将连续函数的概念推广到对离散量的讨论，即将函数看作是一种特殊的二元关系。通过本章学习，读者应掌握以下内容： （1）函数的基本概念 （2）单射、满射和双射函数 （3）函数的复合运算 （4）函数的逆运算 （5）置换 5.1 函数的概念 5.2 函数的性质 5.3 复合函数与逆函数 定义5.1.1 设和Y是任意两个集合，f是一个从X到Y的二元关系，如果f满足：对于每一个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得x，y∈f，则称关系f为X到Y的函数，记作： f：X → Y 或 X Y 当x，y∈f时，通常记为y＝f(x)，这时称x为函数的自变量（或原象），y为x在f下的函数值（或映像）。集合X称为f的定义域，由所有映像组成的集合称为函数的值域，记作f(X) 。 解 f1是X到Y的函数 ；f2不是X到Y的函数，因为X中的元素c与Y中的元素都不相关；f3也不是X到Y的函数，因为X中的元素d与Y中的两个元素有关。 。 例5.1.1 判断下列关系中哪个能构成函数。 （1）集合X＝{a，b，c，d}，Y＝{1，2，3，4，5，6}，f1，f2，f3分别是X到Y的二元关系，其中 f1＝{a，2，b，5，c，1，d，4} f2＝{a，2，b，6，d，4} f3＝{a，3，b，1，c，5，d，2，d，4} （2）f＝{x1，x2 | x1，x2∈N，且x1＋x2＜10} 解 f不能构成函数，因为x1不能取定义域中所有的值，且x1可对 应很多x2。 （3）X={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，Y={0，1}，f为X到Y 的关系，对于X中的元素x为偶数时，x，0?f，否则x， 1?f。 解 f能构成函数，因为对于每一个x?X，都有唯一y?Y与它对 应。 定义5.1.2 设函数f：X→Y，g：A → B，如果X＝A，Y＝B，且对于所有的x∈X和x∈A有f（x）＝g（x），则称函数f和g相等，记作f＝g。 下面讨论函数的计数问题。 例5.1.2 设集合X＝{x，y，z}，Y＝{a，b}，试问：X到Y可以定义多少种不同的函数？ 解 f（x）可以取a或b两个值；当f（x）取定一个值时，f（y）又可以取a或b两个值；而当f（y）取定一个值时，f（z）又可以取a或b两个值。因此，从X到Y可定义23种不同的函数。 例5.2 设X和Y都为有限集，且|X|=m，|Y|=n，问X到Y可以定 义多少种不同的函数？ 解 因为从X到Y的每一个函数的定义域都是X，在这些函数中， 每一个恰有m个序偶。另外，对于任何x?X，可以有Y中的n个 元素中的任何一个作为它的像，所以共有nm个不同的函数。 定义5.2.1 设函数f：X→Y，如果对于X中的任意两个元素x1和 x2,，