结构力学 I 第2版 作者 萧允徽 第6章 虚功原理和结构的位移计算.ppt

All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院? 6.8.2 位移计算 　　1. 解法一 　　利用单位荷载法推导具有弹性支座的静定结构在荷载作用下的位移计算公式。 　　由位移计算的一般公式 抗转动弹性支座，公式可写为 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 FP q A B K ds dq,du,dv i i ds K1 FR D a) 实际状态 A B K ds 1 b) 虚拟状态 　　对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中的MP引起， 。于是，简化为 　　如果满足图乘法的适用条件，式（6-30）中右边第一项可用图乘法计算。 　　当抗移动弹性支座的竖向反力 和FR、抗转动弹性支座的反力矩 和MR方向一致时，乘积取正，反之取负。 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 （6-30） 　　【例6-17】试求图示梁B铰左右两侧截面的相对转角。已知EI=常数，刚度系数kD= k1=3EI/l 3，kq = k2= 48EI/l。 　　解：(1) 绘MP图并求出弹性支座处的竖向反力FR和反力矩MR，如图所示。 FP FP A A B B C C B左 B右 k1 k2 l l/2 l/2 实际状态的MP图 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 　　(2) 在B铰左右两侧加一对大小相等、方向相反的单位力偶，绘 图并求出弹性支座处的竖向反力 和反力矩 ，如图所示。 虚拟状态的 图 A C B 2 1 1 1 　　(3) 计算位移值： ( ) FP A B C 实际状态的MP图 虚拟状态的 图 A C B 2 1 1 1 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 　　2. 解法二 　　具有弹性支座的静定结构的位移计算问题，也可转换为等效的支座位移问题来计算。 　　C点产生竖向位移 　　A处产生转角 ( ) 须注意，弹性支座的位移与支反力正好是反向的。 qA DCV A B C FP C1 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 　　这样，图示结构就可以变换为具有荷载和支座位移的结构。在荷载和支座位移共同作用下，所求位移 式中，c为实际状态支座处的已知广义位移， 为虚拟状态支座处与广义位移c相对应的广义支反力。 qA DCV A B C FP C1 （6-31） 　　3. 解法三 　　对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹性支座的静定结构的位移。 　　C点的弹性位移 　　C点的刚性位移 　　C点的总位移 6.8*　具有弹性支座的静定结构的位移计算 FP FP FP DCV DBV A A A B B B C C C EI EI EI0=∞ DBV FP/2 l/2 l/2 6.9　线弹性体系的互等定理 　　本节讨论的四个普遍定理——互等定理，是采用小变形和线弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最基本的是虚功互等定理（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、支反力互等定理、支反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理的三个特例。 6.9.1 虚功互等定理 　　表述: 一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（W12），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（W21）。即 　　【证明】 　　设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。 第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，根据虚功方程W外=W变，得 (a) FP1 FP2 D12 D21 1 1 2 2 第一状态 第二状态 6.9　线弹性体系的互等定理 第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得 (b) 以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有 或写为 证毕 6.9　线弹性体系的互等定理 FP1 FP2 D12 D21 1 1 2 2 第一状态 第二状态 6.9.2 位移互等定理 　　位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。 如果图中的FP1和FP2都是单位力（量纲为1），相应的位移由D 改为d 表示，则有 　　　　　　，即 这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（d12），等于第一个单位力引起的第二个单位力的作用点沿其方向的位移（d21）。 1 1 2 2 FP1=1 FP2=1 d21 d12 6.9　线弹性体系的互等定理 6.9　线弹性体系的互等定理 须指出的是，这里的单位力及其相应的位移，可以是广义力和相应的广义位移