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机械模态分析理论基础 假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性; 定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-(响应的频率必定与激励一致。 稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。 振动系统分类： 空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统 时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号--(离散数字信号 研究步骤： （1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程） （2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。正则化，解耦。 （3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。 根据阻尼模型的不同，分为： 无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统 单自由度系统的振动 粘性阻尼系统的振动微分方程： 自由振动： 正则形式： 其中：：衰减系数（衰减指数）；：无阻尼固有频率（固有频率） 引入阻尼比（无量纲阻尼系数）： 运动微分方程可写成： 特解为：，为方程的特征值，因此： 为使系统有非零解，很显然： 因此可得到的解为： 式中：成为阻尼固有频率。 当：1（），过阻尼，系统不产生振动； 当：=1（），过阻尼，系统不产生振动； 当：1（），过阻尼，系统不产生振动。 可见，特征值实部代表系统的衰减系数；虚部代表系统的阻尼固有频率。在振动理论中，特征值称为复频率。 方程的通解（自由振动响应）为： 其中，A和取决于系统的初始条件。当t=0时，。 传递函数、频响函数 对于简谐激励：，其稳态响应： h(t)单位脉冲外力下的响应函数(简称为脉冲响应函数)，时域内反映系统的动态特性： H(ω)机械导纳，反映系统对不同频率的激励的传递放大特性，反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性 对于单自由度粘性阻尼振动系统，通过拉氏变换和傅氏变换可得到： 所以，位移频响函数为： 速度频响函数为： 加速度频响函数为： 频响函数的倒数成为阻抗。 单位脉冲响应函数（简称为脉冲响应函数）：振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。 单位脉冲力是指：脉冲量为1，作用时间无限短的瞬时力： 质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为：，则自由振动的初始条件就为： 可得到系统的自由振动响应： 就是脉冲响应函数。 很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对： 简谐激励 结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。 工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结构影响很小。而且由应变可计算得到应力，工程中常常通过测量得到应变模态。 周期性激励 周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。 响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成。 瞬态激励 激励和响应都是非周期信号。但是对于绝对可积的函数，可应用傅立叶变换得到激励和响应的频率域函数： 因此， 随机激励 为非确定性的激励，无法用一个明确的函数来描述，不绝对可积，不能对激励和响应进行傅立叶变换，只能用概率统计的方法来处理。 在时间域：相关函数 在频率域：功率谱密度函数 很显然，无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导： 1） 2） 相干函数可以检验系统的非线性程度，如测量对象在某处联接存在松动等非线性情况，系统非线性等。 当输入和输出存在噪声，也会使相干函数下降。 输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小； 输出存在噪声，会使估计的频响函数偏大； 还可用下面一些估计方法： （3）模态试验技术 1）工作模态：相同激励，同时测量响应。（未考虑激励，无法量化） 2）自由模态：测量激励和响应。（单点激励法、多点激励法） 试验系统： 激励装置和激励传感器 响应传感器 分析处理 激励方法： 锤击法 作动器、激振器（正弦激励、正弦扫描激励、阶跃松弛激励、随机激励、白噪声激励） 4、模态参数识别 （1）单自由度系统 对于粘性阻尼系统，传递函数为： 其中，频率比 实际金属结构，常常不完全能用粘性阻尼来描述衰减特性，实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内部摩擦（内耗）及各部件连接界面（如螺钉、衬垫）相对滑移（干摩擦）。它们消耗的能量与振幅的平方成正比。其阻尼成为结构阻尼。 结构阻尼产生的阻尼力： 其中，：结构阻尼比（损耗因子），引入结构阻尼系数：。 结构阻尼力的大小与位移成正比，方向与速度相反的一种阻尼力。 因此具有结构阻尼特性的