椭圆弦中点问题探究.pptVIP

椭圆中的弦中点问题探究 教学设计 余继光 数学实验探究规律 定值——实验与理论探究 问题1、在椭圆 （a＞b＞0）中， 理论探究 设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上，有 点差法 特殊法——可在选择填空题中用 利用问题1的结论，kOPkAB= 探究方法小结 椭圆中的弦中点问题内容相当丰富，如平行弦的中点问题；过定点的弦中点问题；弦的中点性质问题等，由此可派生出诸如轨迹方程、弦长、定点坐标、最值、取值范围等一系列相关问题，本节课只是研究了其中的一二个问题，但是弦中点问题的基本研究方法是韦达定理法和点差法，其他方法还有对称点法、端点参数法、共轭法等。 方法训练作业 研究性学习作业单—同座位3人小组合作完成 * * 数学规律的理论推导 数学解题方法探究 由圆的弦中点到椭圆的弦中点 变式训练提高能力 问题提出 圆中有一个垂径定理：在圆O中，半径OH与弦AB相交于点C，且点C是AB中点，则OC⊥AB， 圆可以看成椭圆的特殊情形， 在椭圆中能否有类似的性质呢？ O A B H C Y A B C H O X 当弦AB与坐标轴平行时，有类似性质； 不平行时，没有垂直关系； 但是，有没有其他类似性质呢？ 让我们来做一个实验。 若弦AB中点为C，OC交椭圆于H， 当kOC、kAB都存在时，kOCkAB是定值吗？ Y A B C H O X 实验探究 4 4 b2 0.16 25 －0.16 变 变 0.25 16 －0.25 变 变 b2/a2 a2 kABkOC kOC kAB 对于固定的a，b， kABkOC与 有联系： kABkOC= 上述实验表明： 两式相减得 即 ∴k OCk AB= 而 试一试 已知斜率为1的直线交椭圆5x2+9y2=45于A、B两点，AB的中点为P，O为坐标原点，则kOP=_______ 探究方法小结 上述研究表明，圆中的某些性质经过改造后，可以迁移到椭圆中来，我们是通过数学实验的方法来发现其中的规律，但是数学实验中发现的规律还需理论推导证明，上述证明中，主要用到点差法。其关键点是 它沟通了弦的斜率、弦的中点坐标与椭圆基本量a，b之间的紧密联系。 轨迹方程——方法的探究 问题2、过点P（2，1）作椭圆x2+4y2=16的一条弦AB，若点P是弦AB的中点，求直线AB的方程 Y A B P(2,1) O X 韦达定理法 设AB：y－1=k（x－2）,代入椭圆方程 得x2+4[k（x－2）+1]2=16， 整理（4k2+1）x2－8（2k2－k）x+4（2k－1）2－16=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= ∵P为AB的中点，x1+x2=4，于是 =4， 解得k=－ ，故AB的方程为x+2y－4=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在椭圆上，有 两式相减，得 即 y1+y2=2，从而kAB= ,∵P为AB的中点，x1+x2=4， 故AB的方程为x+2y－4=0 对称点法 设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y）， 则另一个交点为B（4－x，2－y）， ∵A、B在椭圆上，∴x2+4y2=16① （4－x）2+4（2－y）2=16② 从而A、B在方程①－②的图形x+2y－4=0上， 而过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x+2y－4=0 端点参数法——利用直线参数方程 设所求直线AB的倾斜角为α， A（2+tcosα，1+tsinα）， B（2－tcosα，1－tsinα） （t≠0为参数） 将点A、B坐标代入椭圆方程x2+4y2=16得 （ 2+tcosα）2+4（1+tsinα）2=16① （ 2-tcosα ）2+4（ 1-tsinα ）2=16② ①－②得8 tcosα + 16tsinα =0 ∴kAB=tanα= 故所求直线方程为x+2y－4=0 Y A B P(2,1) O X ∵kOP= ，∴k AB=－ ，故所求直线方程为 y－1=－ （x－2），即x+2y－4=0 变式训练一 过点P（2，1）作椭圆x2+4y2=16的一条弦AB，若点P是弦AB的中点，则|AB|=_____ 思路一：因AB的斜率k=－ ，而 消去y,可得x2－4x=0 由弦长公式可得|AB|= | x1－