数值分析引论3.3.ppt

* 最佳平方逼近问题 求 使 回忆 §3 最佳平方逼近 3.1 法方程 (基本理论) 符号: 函数类 常用的函数类： 范数： 本节主要内容： 1.基本理论； 2.用多项式作最佳平方逼近(计算方法) 近似函数在整个区间 上逼近原函数最好 讨论的问题： 讨论最佳平方逼近函数 的存在性，唯一性及计算方法. 讨论的问题： 讨论最佳平方逼近函数 的存在性，唯一性及计算方法. 原问题转化为求 数分知识,它有稳定解 解决问题的思路：把原问题转化为多元函数极值问题 a0,a1,… ,an 的二次函数 存在性，唯一性 （1）必要条件 结论 逼近函数，则 ——法方程组 （b）误差函数与基函数正交，即 由（3.4）式 有 证 有唯一解 (是否是最优的)？ （2）充分性 证明 事实上, 非负 问题 (3) 均方误差 定理6 （最佳平方逼近） (2) 函数类 3.2 用多项式作最佳平方逼近(计算方法) 方法（步骤） （1） 求内积 例 （2）解法方程组 ,即 说明: 上式中矩阵G 称为Hilbert矩阵,是一个著名病态矩阵. 改进:用正交多项式作最佳平方逼近. 3.3 用正交多项式作最佳平方逼近 方法（步骤）： （1）求内积： （2）解法方程组 （3）均方误差 （3）均方误差 优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，避免解法方程组. 在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式. 例4 解： 举例 用勒让德(Legendre)多项式作最佳平方逼近 所以由表3-1及P101(2.8)式： 表3-1 例5（略） 理解最佳一致逼近的理论推导并会求最佳平方逼近多项式. P159 1、2（a）、3 作业: 课本P.115例 4 编程: 1. 最佳平方逼近多项式的存在性、唯一性及计算方法. 总结： 2. 正交多项式的最佳平方逼近. 说明: （2）若取基为{1,x}所求多项式可能是常数，基为{1,x,x2}所求 以t为变量用勒让德或切比雪夫多项式作最佳平方逼近. （1）若区间不是[0,1]而是[a,b]可做变换 多项式可能是一次多项式. 最佳平方逼近问题： 求 使 §3 最佳平方逼近 3.1 法方程 (基本理论) 近似函数在整个区间 上逼近原函数最好 讨论的问题： 讨论最佳平方逼近函数 的存在性，唯一性及计算方法。 存在性，唯一性 原问题转化为求 数分知识,它有稳定解 2、由切比雪夫(Chebyshev)多项式作最佳平方逼近 (3) 均方误差 *