数值分析引论3.2.ppt

* 2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式 定义6 设 中线性无关组，称集合 为由 生成（张成）的集合. 一、生成（张成）的集合 结论 问题 §2 连续函数空间，正交多项式理论 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） （1）设 可构造以 则由基 （即 项）系数是1的k次多项式，即 二、 史密特正交化 为权函数的正交多项式组 使得 为首项 证明：用递推构造法证明 正交性 （3）设已构造 且满足： 是首项系数为1的i次多项式； 推论 设（1） 是首项系数为1的i次多项式； ② ，其中 ① 证明： ① ② 将(2.6)代入(2.5)得 说明： 将(2.6)代入(2.5)得 定理4 (正交多项式的三项递推公式) 是首项系数为1的i次多项式，则 满足递推公式: 定理5 设 说明：用反证法利用定理3即得证. 应用：求最佳一致逼近多项式. 三、 正交多项式组的性质 式 在[a,b]内恰好有n个不同的实根. 1．勒让德（Legendre）多项式 四、常用的正交多项式 正交多项式记为 ，由定理4得 定义7 且有 n次多项式 称为Legendre多项式 事实上， 则 （1） 的首项系数 （2）性质 （3）Legendre多项式 为[-1，1]具有权函数 的 正交多项式，即 （4）Legendre多项式的奇偶性 （5）Legendre多项式的三项递推公式 由定理4及 的唯一性 2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘逼近） 正交多项式组记为 定义8 n次多项式 称为n次Chebyshev多项式， 首项系数为 （1）Chebyshev多项式 是[-1，1]上具有权函数 的正交多项式组 . 即 （1）Chebyshev多项式 是[-1，1]上具有权函数 的正交多项式组 . 即 (2)Chebyshev三项递推公式 事实上， *