数值分析引论2.8.ppt

* §8 三次样条插值 8.1 引言 高次插值出现龙格现象 L-插值（牛顿插值） Hermite插值 分段插值 分段线性插值在节点处不一定光滑 分段Hermite插值 导数值不容易提取（找到） 三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 一、背景 如 1 汽车、船的外形设计, 流体力学等要求流线型（光滑）; 2 木样条的来源. Hermite插值求插值多项式） 定义 9 （3次样条函数） 在每一个小区间 上是次数 多项式. 若（1）中3次样条函数 满足插值条件： 关于剖分 称 为 的3次样条插值函数. ，即S(x)具有连续的一阶，二阶导数. 满足下述条件： 如果函数 (1) 设有对[a,b]的剖分 的一个3次样条函数. 为关于剖分 则称 问题： 3次样条插值函数 是否存在？是否唯一？ 如何计算？ 函数表 （2）设给定 二 、 样条函数的定义 函数表 设给定 误差估计？ 分析： 因 上是3次多项式，即可设为 已有条件： 4n个待定系数: 个条件 内部条件： 个条件 共有 个条件, 要唯一确定 ，还必须附加条件(边界条件). 常见边界条件有三种： 第1种边界条件： 第2种边界条件： 若 ，称为自然边界条件. 已知,即 已知,即 常见边界条件有三种： 第1种边界条件： 第2种边界条件： 若 ，称为自然边界条件. 已知,即 已知,即 第3种边界条件（周期边界条件）： 为周期函数， 此时称 为周期样条函数. 亦是周期函数，周期为 ，即取 要求 注： 一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数. 三次样条插值函数的表达式 基本思路： 以分段三次Hermite插值为基础，由以下条件 (3)三种边界条件中 的某一种， (1)函数表 推导3次样条插值函数. 推导方法： 1、先确定插值函数 在节点处的一阶导数，记为 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示8. 2. 2、先确定插值函数 在节点处的二阶导数，记为 该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示8. 3. （一阶导数表示） 8.2 三次样条插值函数的表达式 一、推导公式： 回忆： 分段3次Hermite插值 已知 问题： 求3次样条插值函数 . 函数表 设给定 不固定,是待定参数，共(n+1)个 若要 则要求满足： 于是对(8. 3)式求导: 令 n-1个条件，加某一边界 条件（2个）,共n+1个条件 再由条件 把(8.4)代入(8.7)得到 所满足线性方程组 令 得 说明： (b) (8.8)式中有n-1个方程,要确定n+1个未知量 还少两个方程,由边界条件补足. (a) (8.8)中mj( j=0,1,…,n)在力学上叫做细梁xj( j=0,1,…,n) 三种边界条件中的某一种 处的转角，数学上叫做变化率.方程(8. 8)反映了mj与mj-1,mj+1的 关系,因此(8.8)叫做三转角方程. 两边同除以 ，得 方程组(8. 8)为关于 所满足的方程组： (1)增加第1种边界条件： 则方程组(8. 8)为关于 所满足的方程组可写为： 再由 (2)增加第2种边界条件： 则由(8.5)式取 及(8.6)式取 得到2个方程 (利用(8.4)式中 的值）: 由 ，当 j = 0, j=n-1时 把(8.4)式分别代入（**）,得 得 于是,得到 所满足的线性方程组： 上式简记为 (3)增加第3种边界条件： 即得 又由条件 利用（*）式得到 令 得 两边同除以 ，得 所满足线性方程组: 此式加到（8.8）式即得 异矩阵，则方程组（8. 9）、（8. 10）或(8. 11)有唯一解 可用追赶法（第五章第六节）求解,从而由(8. 3)给出 表达式,且 具有连续的一阶,二阶导数(即 为3次样条插值函数). 说明： 方程组（8. 9）、（8.10）或（8.11）系数矩阵都是严格 对角占优矩阵，由第六章定理6可知这些方程组的系数阵为非奇 , 二、三次样条插值函数存在唯一性 且 (1)如果 是定义在 上函数且已知 函数表 定理 13 (2)给定边界条件 ，则 于 存在 唯一3次样条插值函数 ,且满足 三、计算步骤 : 先计算(8. 8)式中的 （若是第二类 或第三类边界条件，要计算 ）. （2）用追赶法求解方程组(8. 9)(或(8. 10)或(8. 11)),求 . （3）用(8. 3)及(8. 4)式进行插值计算 (先确定x所 在的