数值分析引论2.5.ppt

* 给定 的函数表 并记 §5 差分，等距节点插值多项式 5.1 差分及性质 且 即 1、差分 （1）记号 — 向前差分算子; 在 称为 点的步长为h的一阶向前差分 — 中心差分算子. 定义6 — 向后差分算子; —二阶向前差分； —二阶向后差分； 若 —二阶中心差分； 、向后、中心差分. 分别 (3) 一般地， — 阶向前差分； — 阶向后差分； I — 不变算子（恒等算子）; （4）设A与B为两算子, 如 ，则称算子A与B为相等. 记为 若 ，则称A为B的逆算子. 记为 若 （自己证） E — 位移算子 2、性质 性质 1 的各阶差分均可用函数值表示 . 其中 证明： 用算子二项式定理 得 即 # 用归纳法可证 . 性质 2 差分与差商的关系 令 证明 当m=1时， 假设当m=k时，有 则 # 自己证 一般地 性质3 差分与导数关系 证明： 性质2 定理7 5.2 牛顿向前插值，向后插值公式 函数表 设有 — 被插值点. （1）当 靠近 (表初或差头)时， 通常取插值节点： 以下推导以 为节点的等距插值公式。 作变换 则 又由 1、公式 自己证 代入(4.2),得 （牛顿前插公式或表初公式）： 即得牛顿向前插值公式 系数 系数 系数 系数 作变换 又 则 再由 （牛顿后插公式或表末公式）： 即得牛顿向后插值公式 （2）当 靠近 时，通常取插值节点： ，以下 为插值节点的等距插值公式。 推导以 系数 系数 系数 系数 注：（1）（5.2）、(5.3)使用于等距节点 . （2）（5.2）、(5.3)的系数分别为 ， 差分表2-7 求解方法见表2-7. (5.2)的系数 (5.3)的系数 说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点 . 注意两点，首先，若 2、计算量 （1）计算差分（计算量忽略不记）; （2）由前插（后插）公式计算近似值 （计算步骤） 乘除法次数大约为: + 秦九韶算法 达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n 可以相当大，牛顿插值公式中的n不一定就是表中的n ; 另外,表初 式计算 . 在公式中的比重是一样的 . 若x不在表初、表末而在表中间，则有 例4 . 例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公 公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知 *