数值分析引论1.1-1.4.ppt

山东师范大学数科院 第一章 数值计算引论 一、计算方法学科的发展历史及现状 §2 误差来源与种类 模型误差 观测误差 §3 误差的基本概念 3.1 绝对误差与相对误差 2 相对误差(P3 定义1) 结论 3.2 有效数字 1 定义(P4 定义2) 2 有效数字与相对误差之间的关系 定理 1 推论 §4 求函数值的误差估计 2 函数值 A*的相对误差 3 初始数据误差与计算结果误差之间的关系 （使用） 4 上述关系的表述 在乘、除、开方运算时，问题数据的相对误差对计算结果的 相对误差影响不大 ; * 朱爱玲 副教授 数值分析 （1）使用方面 ? 现状 ? 特点 （1）应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验（指纹，爆炸等） 科学与工程计算 （2）主要工作 误差估计（讨论方法的好坏） 寻求适合计算机计算的方法 抽象性； 严密的科学性； 应用的广泛性； 使用的高技术性. §1 数值分析研究对象 ? 历史 （悠久） 解决一些不能求得准确解的问题（近似解） 二、研究对象及内容 数值逼近 (Ch. 2 — 4) 对象 由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析. 内容 数值代数 (Ch. 5 — 7、9) 微分方程数值解 (Ch. 8) （2）方法特点 构造性 递推性 离散化 近似替代 计算离散点上的近似值; 构造近似计算方法; 复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次 重复（适合计算机计算）; 在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次 计算近似替代 . ? 研究 重点 ? 舍入误差 补例1 解 3216… 失之毫厘,差之千里！ 截断误差（方法误差） 原因 —— 误差的传播与积累 例1 1 绝对误差(P3 定义1) 绝对误差(简称误差) . 绝对误差限. 例 电流表、电压表等仪器. 例2 通常 x 是未知的，故 未知 ， 但一般地 ? 已知 . 绝对误差不是误差的绝对值，即 可正可负. 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 , = 0.0000073…, 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 , 称绝对误差与准确值之比 为 的相对误差. 称δ为 的相对误差限. 例3 解 但 是 的一个好的近似， 不是 的好的近似. 结论? 俗称“好坏”、“多少”是相对的 近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量， 一个近似数 的相对误差越小，则近似数越精确 . ? 通常将 作为 的相对误差； 较小时 ? 相对误差限δ是未知的，但可以确定. 是一个无量纲的数； 四舍五入规则： 计算机的存储 舍入存储（四舍五入） 截断存储（按要求） 例 例 (当要平分某数时，四舍六入五成双） 舍入后使绝对误差限不超过末尾数的半个单位; 若舍入部分刚好是末尾数的半个单位时，要使末尾凑成偶数. 例 例如对a =2.5, 四舍五入时,取a ≈ 2. 因为若取a≈3，则在以后的 若取a≈2, 有 而实际上， 计算中会使误差越来越大, 若取a≈3, 有 设 x 为准确值， x*为 x 的近似值且x*表示为 若 的误差满足 其中 为 0, 1, … , 9 中的一个数字. 误差不超过m-n位的半个单位 即 有n位有效数字， 或说 准确到 m-n 位 . 注 1 ，则称该位到 的第一位非零数 字为 的有效数字， 通俗说法 事实上， =0.5×10m －n 例 ，得 n =3. 所以 n =5. 1位有效数字，即n =1 5位有效数字，即n=5 但 有效数字的位数不能仅考虑 例 最多有5位 有效数字 注 2 最少有1位 有效数字 得相对误差限为 说明 而不是必要条件. 定理中的条件 是充分条件， 有效数字的位数估计相对误差限 有效数字的位数越多 相对误差限就越小 补例2 试求其相对误差限. 方法一(定义) 解 由有效数字的定义得绝对误差限为 得相对