数值分析实践作业.pdf

北理数值分析实践作业 目录 第一题：列主元Gauss 消去法 2 （一）算法描述 2 （二）具体算法 2 （三）算例 3 （四）程序与结果 3 第二题：追赶法 5 （一）算法描述 5 （二）具体算法 6 （三）算例 6 （四）程序与计算结果 6 第三题：线性方程组迭代法 8 （一）算法描述 8 Jacobi 迭代 9 Gauss-Seidel 迭代 9 SOR 迭代 9 （二）具体算法 9 （三）算例 11 （四）程序与计算结果 11 第四题：特征值 14 （一）算法描述 14 幂法 14 反幂法 14 （二）具体步骤 14 （三）算例 15 （四）程序和计算结果 15 幂法： 15 反幂法： 17 第五题：数值积分 19 （一）算法描述 19 （二）具体算法： 20 (三) 算例 20 （四）实现程序与计算结果 21 梯形公式的逐次分半： 21 Simpson 公式的逐次分半： 21 总结： 23 1 第一题：列主元Gauss 消去法 选用一种编程语言实现列主元Gauss 消去法，并把该程序用于一般矩 阵的求逆。具体算例可以参考书P61.第1 题，也可以自己设计算例。 （一）算法描述 Gauss 消去法就是将方程组逐列逐行消去变量，转化为等价上三角方程组。 而列主元Gauss 消去法就是在消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值 最大的系数作为主元，通过行对换将其换到对角线上，然后进行消元。接着 回代得原方程组的解。 应用到求逆矩阵时，只需要将方程Ax=b 中的b 依次令为单位矩阵的每一列， 求得的x 即为逆矩阵中对应的列。 （二）具体算法 1. 有方程组为AX = E，其中X = [X0，X 1，…, Xn] ，E 为单位矩阵。 2. 在系数矩阵A 的第1 列中选取绝对值最大的元，如ai 1 。将增广矩阵[A|E]第1 行与第 i 行互换，进行第一次消元，化为除第一行外其余行的第一列均为零 的矩阵。 3. 在新的矩阵的第 2 列中选主元，将第 2 行与主元所在行互换，进行第二次消 元。 4. 重复如上步骤，直到化为上三角矩阵。 5. 回代分别求得方程组的解Xi，则A−1 =[X0，X1，…,Xn]。 2 （三）算例 实现下列矩阵的列主元素三角变换，并求其逆 1 2 1 −3 2 5 0 −5 1 0 14 1 −3 −5 1 15 （四）程序与结果 function qiuni(A) N=size(A); if N(1)~=N(2) disp(error:A不是方阵); XA=-1 return; end n=N(1); E=eye(n,n); index=0; for i=1:n-1 me=max(abs(A(1:n,i))); for k=i