多动点综合题中等腰三角形的专题.docVIP

多动点综合题中等腰三角形的专题研究 如果把中考数学的压轴题比喻成皇后头上的皇冠的话，压轴题中的压轴问题就是皇后皇冠上的一颗最璀璨夺目的明珠。近几年的多个地区中考试题压轴题的最后一问，都是以多动点的几何背景为载体，探究等腰三角形的问题。本文通过对几何背景综合题中等腰三角形的专题研究，寻找解题规律，了解、掌握在几何背景综合题中等腰三角形的常见解法，并感悟解几何背景综合题的一般思考方法，以供九年级师生复习参考之用。 一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形 【案例1】（2008山西）如图（1），已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。 （1）求直线的解析式。 （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。 （3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？ 　　　　　　　　　　　 1） 解：（1）过程略，答案：的解析式为 （2）过程略，答案：= （3）【分析】①确定定点、动点、运动方向 这类问题首先要弄清楚对于△PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了△PCQ的动点（P、Q）和定点（C），以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。 ②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”） 按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，⊿PCQ的三边两两分别相等，如图①QP=QC，②CP=CQ，③PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。 ③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程 ???? 根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来，PC=，CQ=，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。 ???? 如图①，当QC=QP，过Q作QD⊥轴于D，D点为PC中点，则CD=PC=，图形中可确定三边的Rt⊿BOC，恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC分割出来的Rt⊿QDC公共∠BCO，根据“A”型相似或平行相似，则⊿QDC∽⊿BOC，，即，解得 ??? 如图②，当CP=CQ时，这时CP与CQ正好也在∠BCO的两边上，，解得 ?? ?如图③，当PC=PQ时，过P作PE⊥于E，则CE=CQ=，这时分割出的Rt⊿PEC与已知的Rt⊿BOC仍然公共∠BCO，并形成斜“A”型相似，则⊿PEC∽⊿BOC， ，即，解得， 综上所述，当，或5，或时，（都满足），⊿PCQ为等腰三角形 【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。 【练习】（2009济南）如图（2），在梯形中，∥,,,, 　　　　　　图（2） ? 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒． （1）求的长。（过程略，） （2）当∥时，求的值。(过程略，) （3）试探究：为何值时，为等腰三角形。 解：（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（2）中完成） ②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图①②③中完成） ③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程 点拨：此问所需要确定三边的直角三角形，目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形，这个三边都可以求出的直角三角形还与动态公共∠C，可利用案例一的讨论方法求出相应的时间，注意这题中M、N两个动点的速度不一样了，此问答案为当、或时，为等腰三角形，过程请读者自行完成。 【案例2】（2009仙桃）如图（3），直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间