随机变量的期望方差的计算方法.docVIP

随机变量的期望、方差的计算方法 辛开远，杨玉华 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。 一、数学期望 1．设离散型随机变量的分布律为： ， 1，2，… 如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，即 2．设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，即 3．数学期望的性质 （1），（为常数） （2），（为常数，是随机变量） （3），（，是两个随机变量） （4）若，是相互独立的随机变量，则有 二、随机变量的函数的数学期望 设是的函数，。 1．当是离散型随机变量时，的分布律为 ， 1，2，… 若级数绝对收敛，则函数的数学期望为 2．当是连续型随机变量时，的概率密度为，若积分绝对收敛，则函数的数学期望为 三、方差 设是一个随机变量，若存在，则称它为的方差，记作，即 则称为的均方差或者标准差。 1．若是离散型随机变量，则 2．若是连续型随机变量，则 方差反映了随机变量取值分散的程度，越小，的取值越集中。 3．方差的性质 （1）≥； （2），（其中是常数）； （3），其中是常数， （4）若，是两个相互独立的随机变量，则有 （5）的充分必要条件是，这里； （6） 常用公式（6）计算方差。 四、矩 1．为离散型随机变量 （1）若， 1，2，…，存在，则称它为的阶原点矩。 （2）若存在，则称它为的阶中心矩。 2．为连续型随机变量 （1）存在，则称它为的阶原点矩。 （2）若存在，则称它为的阶中心矩，其中，为的概率密度。 五、关于两个随机变量的函数的数学期望 1．设是二维离散型随机变量，若其分布律为，（1，2，…）， 则 这里，等式右端的级数绝对收敛。 2．设是二维连续型随机变量，若其概率密度为 则 这里，等式右端的级数或积分绝对收敛。 六、协方差和相关系数 1．设是二维随机变量，若存在，则称它是和的协方差，记作，即 （1）当为离散型随机变量时， （2）当是连续随机变量时， 其中，是的概率密度。 2．若＞＞ 为和的相关系数。 -2 0 2 0.4 0.3 0.3 七、例题分析 例1．设随机变量的分布律为， 求：，，。 解： 例2．设随机变量的概率密度分别为 ， 求：，，。 解： 例3．设二维随机变量具有概率密度, 求：，。 解： 例4．设二维随机变量的分布律为 -1 0 1 -1 0 0 1 1 求：，，，。 解：