轴对称的应用最短路径问题的学案.docxVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 5 轴对称的应用最短路径问题的学案 基本图形： （1） 原理：两点之间____________最短。（线段） （2） 方法：把____________转化为___________,把“______”的线化为“____________”的线。 （同侧两点， 异侧两点 折线 线段） 练习1、如图，直线L是一条河流，P,Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P.Q两地供水，现有四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道的最短的是（ ） 练习2、如图，已知△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．则PD+PB的最小值为___________cm. 练习3、如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD十PE的和最小，则这个最小值为（ ） A．10 B．3 C．4 D．6 学以致用： 探究1：已知如图，点A和两条直线m和n．你能在直线m和n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小？ 探究2：已知如图，点A、点B和两条直线m和n．你能在直线m和n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ+BQ的值最小？ 探究3、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为________. 探究4：已知如图，一点A和两条直线m、n，请在直线m、n上分别找一点P、Q，使得AP+PQ的值最小。 探究5、七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是_________；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是_____________. 小结： 利用______________ ，化____________为______，来实现最短路径的求解。 参考答案 练习1、解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D． 练习2、解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm． 练习3、解：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，∴C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，连接AE交BD于P，则此时EP+CP的值最小，∵C、A关于BD对称，∴CP=AP，∴EP+CP=AE，∵等边三角形ABE，∴EP+CP=AE=AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4，∴EP+CP=4，故选C． 探究1: 作图如下： 点P、Q即为所求，即使得AP+PQ+AQ的值最小. 探究2： 点P、Q即为所求，即使得AP+PQ+BQ的值最小. 探究3：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°. 探究4： 点P、Q即为所求，即使得AP+PQ的值最小. 探究5解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE= ；（2）作点C关于x轴的对称点C，连接AC，则AC与x轴的交点即为点D的位置，∵点C坐标为（0，-2），点A坐标为（6，4），∴直线CA的解析式为：y=