解竞赛题的金钥匙之九（重迭问题）.docVIP

      土豆教育网 土豆教育网 九重叠问题 我们先来看下面一个问题： 如右图，有边长是 4 厘米与边长是 5 厘米的两个正方 形成在桌面上（阴 影部分是两个正方形的重叠部分），试求这两个正方形覆盖桌面的面积。 {ewc MVIMAGE,MVIMAGE, 0120_1.bmp} 要解答这个问题，如果只简单地把两个正方形面积相加，得 4×4+5× 5=41（平方厘米）就作为其覆盖桌面的面积，显然是错误的，这是因为我们 多计算了一块阴影部分的面积。这块面积是 3×3÷2=4.5（平方厘米），所 以要将这块面积排除掉。所以两个正方形覆盖桌面的面积是 4×5+5×5-3×3÷2=36.5（平方厘米）。 一般来讲，这类问题就叫做重叠问题，它与一个应用很广的数学原理— —容斥原理（“容”，就是包含、相交的含义，“斥”就是排除、去掉的含 义）有密切的关系，它是解决重叠问题的主要理论依据，运用容斥原理可以 解答很多有趣的数学问题。 下面我们通俗、直观地介绍两条容斥原理。 容斥原理（一）放在桌面上两张相交的圆纸片 A、B 所覆盖的总面积等于 它们的面积之和减去它们相交部分的面积。 {ewc MVIMAGE,MVIMAGE, 0121_1.bmp} 说明：容斥原理的确切内容，要用集合的知识阐述。 例 1 一个班 42 名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》的有 32 人， 订阅《小学生报》的有 27 人。有多少人订阅两种报纸？ （1934 年《小学生报》全国数学竞赛题） 解法 1：假定全班每人只订一份报纸，则全班共有 32+27=59 人，这比全 班实际人数多 59-42＝17 人，说明有 17 人不是只订了一份报纸，而是既订了 《中国少年报》又订了《小学生报》，所以在统计订阅报纸的人数时，有 17 人重复计算了一次，形成比全班实际人数多了的情况。 由此，订阅两种报纸的人数是 32+27-42=17（人）。 解法 2：因为班内订《中国少年报》的有 32 人，所以没有订《中国少年 报》的有 42-32=10 人，也就是在班内只订《小学生报》的有 10 人，为什么 题意中“订阅《小学生报》的有 27 人”呢？这，说明有 27-10=17 人既订了 《中国少年报》、又订了《小学生报》。由此，订阅两种报纸的人数是 27-（42-32）＝17（人）。 解法 3： 如右图，设订阅两种报纸的有 x 人。 {ewc MVIMAGE,MVIMAGE, 0122_1.bmp} 如果我们在桌面上，把订《中国少年报》的学生用圆 A 围起来，圆 A 的 面积表示订《中国少年报》的人数（32 人）；把订《小学生报》的学生用圆 B 围起来，圆 B 的面积表示订《小学生报》的人数（27 人）。 所以圆 A 与圆 B 的相交部分就是既订《中国少年报》又订《小学生报》 的学生，这部分的面积表示他们的人数（x 人）。 则 全班学生的人数（42 人）就是圆 A、圆 B 覆盖在桌面上的总面积， 按“容斥原理（一）”为等量关系列方程，得 解方程，得 x=17。 42=32+27-x。 答：订阅两种报纸的有 17 人。 说明：第一、二两种解法是算术解法，解题思路比较抽象。第三种解法 是借助图形（一般叫“韦恩图”）直观、形象地表示了题意，然后利用容斥 原理列出方程进行解答。 显然，如果第一、二两种解法用韦恩图来分析，就更能说明解题的思路。 例 2 一个班有 36 个学生，在一次测验中，答对第一题的 25 人，答对 第二题的 23 人，两题都答对的 15 人。那么，两题都不对的有多少人？ （1990）年徐州市鼓楼区小学数学竞赛预赛题） 解法 1：因为答对第一题的 25 人当中有 15 人同时答对第二题，所以第 一题答对，第二题答错（也就是只答对第一题）的学生有 25-15=10 人。同理， 第二题答对，第一题答错（也就是只答对第二题）的学生有 23-15=8 人。从 全班学生总人数（36 人）中，减去这两部分学生人数，再减去两题都答对的 人数（15 人），就能得到两题都不对的学生人数。 36-（25-15）-（23-15）-15=3（人）。 解法 2： 如右图，设两题都不对的有 x 人。 {ewc MVIMAGE,MVIMAGE, 0123_1.bmp} 如果我们在桌面上，把全班学生用长方形围起来，这个长方形的面积表 示全班的人数（36 人）；把答对第一题的学生用圆 A 围起来，圆 A 的面积表 示答对第一题的人数（25 人）；把答对第二题的学生用圆 B 围起来，圆 B 的 面积表示答对第二题的人数（23 人），所以圆 A 与圆 B 的相交部分就是