物理学中的数学和数值方法（I）.docVIP

物理学中的数学和数值方法（Ⅰ） 张量代数（本章共8学时） §1 张量的基本概念（1学时） 坐标变换；多重线性函数和线性变换及其表示；张量的一般定义 §2 张量的代数运算（3学时） 张量的加法与乘法，缩并与商律；张量空间的结构，对偶基与乘积基；张量的对称性质，外积与外微分，Hodge﹡算子；相对张量 §3 内积空间上的张量（2学时） 内积空间与度规张量，指标的升、降运算；Descartes张量，并矢表示，点乘与叉乘运算，化二阶张量到主轴上；Minkowski张量，洛仑兹变换及其分解，双曲旋转与快度 §4 若干物理应用（2学时） 电磁理论基本方程的协变形式；应力与应变；晶体的电极化律与介电系数；晶体的非线性光学极化律 张量分析（本章共12学时） §1 流形（2学时） 曲线与曲面的拓广；同胚与开集，拓扑空间的基本概念；流形与微分流形，流形的定向 §2切空间与张量（1学时） 曲面的切平面与自然基；流形的切空间与自然基；流形上的张量 §3 Riemann空间（1学时） Riemann空间与度规张量，诱导度规张量；正交坐标系与物理分量；Riemann空间的等长同胚 §4张量的协变微分与联络（3学时） 自然基矢量的导数，Christoffel记号与仿射联络；Levi-Civita平移，矢量与张量的协变微分、协变导数，张量的绝对微分；曲线坐标下张量的梯度、散度与旋度； §5 平行移动与测地线（2学时） 矢量沿曲线的平行移动及简单性质；平行移动与路径的关系，曲率张量；测地线及其标准参数，测地线的极值性，Riemann空间中测地线的微分方程 §6 曲率张量（3学时） 曲率张量及其对称性，Ricci恒等式与Bianchi恒等式；曲率张量的缩并形式，Ricci曲率与标量曲率，Einstein张量与引力场方程；曲率张量的几何意义，Gauss曲率、截面曲率；局部平坦Riemann空间的等价描述 群的基本概念（本章共8学时） §1群的定义与实例（3学时） 群的定义，恒元与逆元的唯一性；线性变换成群，对称操作成群，群表与重排定理；物理中常见的群举例：三维空间的坐标变换群，旋转变换及其矩阵表示，平移变换与Seitz算符；Schr?dinger方程群与标量场的变换算符群的同构关系，变换算符PT的幺正性；群的矩阵表示，表示空间的基函数；定态Schr?dinger方程的能量本征函数作为变换算符群{PT}矩阵表示的基函数 §2 群的主要子集（3学时） 复元素与生成元；子群与陪集，陪集定理与群按陪集的分解，；共轭元与类，类的定理与群按共轭类的分解；不变子群与商群；同构和同态映射，同态核与同态基本定理；群的直积、内直积与半直积 §3 lie群的基本概念（2学时） 线性lie群的定义，lie群的结合函数；lie群的局域性质，生成元与微量算符，lie代数，有限变换与指数映射，共轭变换与伴随表示；lie群的整体性质，连通性与紧致性，群上的不变积分；lie氏三定理* 群的表示理论（本章共15学时） §1群的矩阵表示（2学时） 群的线性表示的一般定义；群函数、群代数与正则表示；等价表示与特征标，等价幺正表示的存在定理；可约表示与不可约表示，不变子空间，完全可约性定理； §2群表示论的基本定理（4学时） Schur定理及逆定理，不可约表示矩阵元的正交定理，不可约表示特征标的正交定理，正交关系的几何意义，不可约表示的判据，Burnside定理，不可约表示的完备性定理 §3不可约表示与特征标表的构造实例（2学时） 构造不可约表示与特征标表的一般原则；循环群的不可约表示与特征标；D3群的不可约表示与特征标；SO(3) 群不可约表示的特征标 §4表示空间约化的两个途径（3学时） 表示空间的约化问题与Wigner-Eckart定理；对称化基函数方法；投影算符方法； §5表示的直积与直积群的表示（2学时） 矩阵的直积，直积表示的特征标与基函数，对称积与反对称积，直积表示的约化；直积群的表示，直积群的类数、特征标和基函数 §6分导表示与诱导表示（2学时） 分导表示与按子群链的约化；诱导表示，诱导表示的几个基本定理 群表示论与量子力学（本章共6学时） §1 Schr?dinger方程的解（2学时） 久期方程的块对角化；正则简并与偶然简并，微扰对简并的影响 §2 Clebsch-Gordan系数（2学时） Clebsch-Gordan系数的性质与正交关系，Clebsch-Gordan系数的计算 §3不可约张量算符（1学时） 不可约张量算符与Wigner-Eckart定理，选择定则 §4时间反演对称与附加简并（1学时） 时间反演算符，时间反演与简并度，Kramers定理 三维旋转群（本章共10学时） §1旋转群及其参数化（1学时） 三维空间的转动变换，主动观点与被动观点；正交群O(3)与固有转动群SO(