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第二学期第一次课 第五章 §3 实与复二次型的分类 1．复、实二次型的规范形： 定理 复数域上的任一二次型f 在可逆变数替换下都可化为规范形 2 2 z +z 1 +L r , 其中r 是f 的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 证明 复数域 C 上给定二次型) n n ( f a x x ∑∑ a a ) ij i j ij ji i 1 j 1 设它在可逆线性变数替换 X＝TZ 下变为标准型 2 2 2 … d z d+ z + d z 1 1 2 2 n n 这相当于在 C 上n 维线性空间 V 内做一个基变换 （ ， ， ，η η … ，η ）＝（， ，ε ）ε … ε T 1 2 n 1 2 n 使对称双线性函数 f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即 ( , ) f ,η η d δ i j i ij 设 … 中有 r个不为零。只要把 d , d , d ， ，η ，η … η 的次序重新排列一下，就可以使不 1 2 n 1 2 n 为零的d i 排在前面，而后面 n－r 个d i 全为零。因此，不妨设 f的标准型为 + 2 + 2 2 0, 1,2, ≠r i … ） d z d z d…z （ d ， 1 1 2 2 r r i f 的矩阵为A=(a ),有 ij ⎛d1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ d 2 ⎟ ⎜ O